No horário de pico, uma central telefônica está muito próxima da sua capacidade máxima, por isso os usuários têm dificuldades para concluir suas chamadas. Suponha que
seja a probabilidade de uma conexão no horário de pico.
Estamos interessados em saber a probabilidade de que sejam necessárias cinco tentativas para se conseguir completar uma chamada e o número esperado de tentativas necessárias para que o usuário consiga completar a chamada.
Passo 1
O enunciado fornece a probabilidade de sucesso em cada tentativa durante o horário de pico:
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Qual é a probabilidade de que sejam necessárias cinco tentativas para conseguir completar a chamada?
- Qual é o número esperado de tentativas necessárias para conseguir completar a chamada?
Passo 2
Entender bem o que está sendo pedido (intuição antes da conta).
- Estamos fazendo tentativas sequenciais até obter o primeiro sucesso (completar a chamada).
- Em cada tentativa a probabilidade de sucesso é a mesma (
) e as tentativas podem ser tratadas como independentes.
Logo, se chamarmoso número de tentativas necessárias até obter o primeiro sucesso, para que é preciso que as primeiras tentativas falhem e a -ésima dê sucesso. A probabilidade de falha em cada tentativa é .
Portanto a fórmula paraé
Essa fórmula vem diretamente da multiplicação das probabilidades independentes:
falhas (cada uma com probabilidade
) e uma vitória (probabilidade
).
Passo 3
Aplicar a fórmula para
. Substituindo
temos
Agora calcular passo a passo sem pular etapas:
Arredondando de forma prática para a prova:
.
Interpretação rápida: isso significa que em torno de das vezes será preciso exatamente cinco tentativas.
Interpretação rápida: isso significa que em torno de
Passo 4
Calcular o valor esperado
. Vou mostrar duas formas curtas e didáticas — ambas fáceis de lembrar na prova.
Método 1 — argumento de recorrência (intuitivo):
- Ao começar uma tentativa, com probabilidade
você tem sucesso imediatamente (gastou 1 tentativa). Com probabilidade você falha na primeira tentativa e daí precisa, em média, de mais tentativas além da primeira.
Escrevendo isso como equação:
Forma correta e direta:
Explicando a equação: com probabilidade
termina na primeira tentativa (contribuição
); com probabilidade
você gastou uma tentativa e ainda espera
no futuro, totalizando
. Agora resolvemos:
Subtraindo
dos dois lados:
Logo
Método 2 — soma infinita (mais formal):
Usa-se a soma geométrica derivada: para
,
Tomando
e multiplicando por
obtém-se novamente
.
Passo 5
Aplicar o resultado para
:
Interpretação: em média um usuário precisará de
tentativas para completar a chamada quando a probabilidade de sucesso por tentativa é
. Sei que parece muito, mas é exatamente o que a matemática diz — e isso mostra por que a central está praticamente saturada!