No horário de pico, uma central telefônica está muito próxima da sua capacidade máxima, por isso os usuários têm dificuldades para concluir suas chamadas. Suponha que p=0,05 seja a probabilidade de uma conexão no horário de pico.
Estamos interessados em saber a probabilidade de que sejam necessárias cinco tentativas para se conseguir completar uma chamada e o número esperado de tentativas necessárias para que o usuário consiga completar a chamada.

Passo 1

O enunciado fornece a probabilidade de sucesso em cada tentativa durante o horário de pico: p=0,05.
As perguntas são:
  1. Qual é a probabilidade de que sejam necessárias cinco tentativas para conseguir completar a chamada?
  2. Qual é o número esperado de tentativas necessárias para conseguir completar a chamada?

Passo 2

Entender bem o que está sendo pedido (intuição antes da conta).
  • Estamos fazendo tentativas sequenciais até obter o primeiro sucesso (completar a chamada).
  • Em cada tentativa a probabilidade de sucesso é a mesma ( p=0,05) e as tentativas podem ser tratadas como independentes.
    Logo, se chamarmos N o número de tentativas necessárias até obter o primeiro sucesso, para que N=k é preciso que as primeiras k-1 tentativas falhem e a k-ésima dê sucesso. A probabilidade de falha em cada tentativa é 1-p.
    Portanto a fórmula para P(N=k) é
P(N=k)=(1-p)^{k-1}p.
Essa fórmula vem diretamente da multiplicação das probabilidades independentes: k-1 falhas (cada uma com probabilidade 1-p) e uma vitória (probabilidade p).

Passo 3

Aplicar a fórmula para k=5. Substituindo p=0,05 temos
P(N=5)=(1-0,05)^{4}\cdot 0,05.
Agora calcular passo a passo sem pular etapas:
1-0,05=0,95,
0,95^{2}=0,9025,
0,95^{4}=(0,95^{2})^{2}=0,9025^{2}=0,81450625,
P(N=5)=0,81450625\cdot 0,05=0,0407253125.
Arredondando de forma prática para a prova: P(N=5)\approx 0,04073.
Interpretação rápida: isso significa que em torno de 4,07\% das vezes será preciso exatamente cinco tentativas.

Passo 4

Calcular o valor esperado E[N]. Vou mostrar duas formas curtas e didáticas — ambas fáceis de lembrar na prova.
Método 1 — argumento de recorrência (intuitivo):
  • Ao começar uma tentativa, com probabilidade p você tem sucesso imediatamente (gastou 1 tentativa). Com probabilidade 1-p você falha na primeira tentativa e daí precisa, em média, de mais E[N] tentativas além da primeira.
    Escrevendo isso como equação:
E[N]=1\cdot p + (1+p\cdot 0)\text{?} \quad\text{(vamos organizar melhor)}
Forma correta e direta:
E[N]=1\cdot p + \bigl(1 + E[N]\bigr)\cdot(1-p).
Explicando a equação: com probabilidade p termina na primeira tentativa (contribuição 1); com probabilidade 1-p você gastou uma tentativa e ainda espera E[N] no futuro, totalizando 1+E[N]. Agora resolvemos:
E[N]=p + (1-p)(1+E[N])=p + (1-p) + (1-p)E[N]=1 + (1-p)E[N].
Subtraindo (1-p)E[N] dos dois lados:
E[N] - (1-p)E[N]=1 \quad\Rightarrow\quad p\,E[N]=1.
Logo
E[N]=\frac{1}{p}.
Método 2 — soma infinita (mais formal):
E[N]=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
Usa-se a soma geométrica derivada: para |r|<1,
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Tomando r=1-p e multiplicando por p obtém-se novamente E[N]=p\cdot\dfrac{1}{p^{2}}=\dfrac{1}{p}.

Passo 5

Aplicar o resultado para p=0,05:
E[N]=\frac{1}{0,05}=20.
Interpretação: em média um usuário precisará de 20 tentativas para completar a chamada quando a probabilidade de sucesso por tentativa é 0,05. Sei que parece muito, mas é exatamente o que a matemática diz — e isso mostra por que a central está praticamente saturada!

Resposta

(1-0,05)^{4}\cdot 0,05 \approx 0,04073
\;E[N]=\dfrac{1}{0,05}=20

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