Uma massa atômica emite partículas radioativas. Um contador registra o número de partículas atingindo uma placa num intervalo de 7.5 segundos. Sabe-se que em média 3.87 partículas são emitidas por intervalo.
(a) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas seja emitidas por intervalo.
(b) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas em 10 intervalos.
(c) Calcule a probabidade de 5 partículas em um intervalo de 15 segundos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três probabilidades.
  • Informação dada: em um intervalo de 7{,}5 segundos a média de partículas emitidas é \lambda_{7{,}5}=3{,}87.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a probabilidade de menos de 3 partículas sejam emitidas em UM intervalo de 7{,}5 s.
    (b) Calcular a probabilidade de menos de 3 partículas em 10 intervalos (assumir independência entre intervalos).
    (c) Calcular a probabilidade de exatamente 5 partículas em um intervalo de 15 s.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Quando eventos raros ocorrem independentes e com taxa constante, o número de ocorrências por intervalo de tempo segue a distribuição de Poisson.
  • A função massa de probabilidade da Poisson com parâmetro \lambda é
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • N é o número de eventos no intervalo considerado;
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos no intervalo (mesma unidade de tempo/intervalo).
  • Propriedade útil: se contar eventos em intervalos independentes e de mesma duração, o total em vários intervalos é Poisson com parâmetro somado (aditividade): se cada intervalo tem média \lambda, então n intervalos têm média n\lambda.

Passo 3

Resolvendo (a). Precisamos de P(N<3) para um intervalo de 7{,}5 s com \lambda=3{,}87. Isso é
P(N<3)=P(0)+P(1)+P(2).
Usando a fórmula da Poisson:
P(0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda},
P(1)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{1}}{1!}=e^{-\lambda}\lambda,
P(2)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2!}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2}.

Passo 4

Cálculo numérico de (a) passo a passo.
  • Primeiro calcule e^{-\lambda} com \lambda=3{,}87:
e^{-3{,}87}\approx 0{,}020837\quad(\text{aprox.})
  • Agora
P(0)=0{,}020837.
P(1)=0{,}020837\times 3{,}87 \approx 0{,}080639.
\lambda^{2}=3{,}87^{2}=14{,}9769,\qquad \frac{\lambda^{2}}{2}=7{,}48845,
P(2)=0{,}020837\times 7{,}48845 \approx 0{,}156036.
Somando:
P(N<3)=0{,}020837+0{,}080639+0{,}156036\approx 0{,}257512\approx 0{,}2575.

Passo 5

Resolvendo (b). Interpretação e método escolhido.
  • Assumindo que os 10 intervalos são independentes e que queremos a probabilidade de que o total de partículas em todos os 10 intervalos seja menor que 3, usamos a propriedade de aditividade da Poisson.
  • Cada intervalo de 7{,}5 s tem média \lambda_{7{,}5}=3{,}87. Em 10 intervalos a média total é
\lambda_{10}=10\times 3{,}87=38{,}7.
  • Logo o número total em 10 intervalos segue \mathrm{Poisson}(\lambda=38{,}7). Precisamos de
P_{\text{10 int}}(N<3)=P(0)+P(1)+P(2)
com \lambda=38{,}7.

Passo 6

Cálculo numérico de (b).
  • e^{-38{,}7} é extremamente pequeno:
e^{-38{,}7}\approx 1{,}56\times 10^{-17}.
  • Então
P(0)=e^{-38{,}7}\approx 1{,}56\times 10^{-17},
P(1)=e^{-38{,}7}\times 38{,}7\approx 6{,}04\times 10^{-16},
\lambda^{2}=38{,}7^{2}=1\,497{,}69,\qquad \frac{\lambda^{2}}{2}=748{,}845,
P(2)=e^{-38{,}7}\times 748{,}845\approx 1{,}17\times 10^{-14}.
Somando os três termos dominantes, obtemos aproximadamente
P_{\text{10 int}}(N<3)\approx 1{,}17\times 10^{-14}.
(Praticamente zero — muito improvável haver menos de 3 partículas no total em 10 intervalos quando a média total é 38{,}7.)

Passo 7

Resolvendo (c). Ajuste do parâmetro \lambda para 15 segundos e aplicação da fórmula.
  • A média é proporcional ao tempo. Como 15 s é o dobro de 7{,}5 s, a média em 15 s é
\lambda_{15}=2\times 3{,}87=7{,}74.
  • Queremos a probabilidade de exatamente 5 partículas em 15 s:
P(N=5)=e^{-\lambda_{15}}\frac{\lambda_{15}^{5}}{5!}.

Passo 8

Cálculo numérico de (c) detalhado.
  • Primeiro e^{-7{,}74}\approx 0{,}0004346.
  • Calcule \lambda_{15}^{5}:
7{,}74^{2}=59{,}9076,
7{,}74^{3}=463{,}684824,
7{,}74^{4}=3\,588{,}92053776,
7{,}74^{5}\approx 27\,778{,}2449622624.
  • 5!=120. Então
\frac{7{,}74^{5}}{5!}\approx \frac{27\,778{,}24496}{120}\approx 231{,}485375.
  • Finalmente
P(N=5)\approx 0{,}0004346\times 231{,}485375\approx 0{,}1006.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo.
  • Resultado (a) diz que em um intervalo típico de 7{,}5 s há cerca de 25{,}8\% de chance de ter menos de 3 partículas — não é raro.
  • Resultado (b) mostra que, somando 10 intervalos, é praticamente impossível (probabilidade ~ 10^{-14}) ter menos de 3 partículas no total quando a média total é 38{,}7.
  • Resultado (c) dá cerca de 10{,}06\% de chance de exatamente 5 partículas em 15 s.
    Força aí — você já entendeu o raciocínio: Poisson, somar médias para intervalos maiores, e usar a fórmula direitinho. Dá pra fazer na prova tranquileza se você souber calcular exponenciais e potências (ou usar calculadora para a parte numérica).

Resposta

(a) 0,2575
(b) 1,17\times 10^{-14}
(c) 0,1006

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