Uma massa atômica emite partículas radioativas. Um contador registra o número de partículas atingindo uma placa num intervalo de 7.5 segundos. Sabe-se que em média 3.87 partículas são emitidas por intervalo.
(a) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas seja emitidas por intervalo.
(b) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas em 10 intervalos.
(c) Calcule a probabidade de 5 partículas em um intervalo de 15 segundos.
(a) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas seja emitidas por intervalo.
(b) Calcule a probabilidade de menos de 3 partículas em 10 intervalos.
(c) Calcule a probabidade de 5 partículas em um intervalo de 15 segundos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três probabilidades.
- Informação dada: em um intervalo de
segundos a média de partículas emitidas é . - Perguntas:
(a) Calcular a probabilidade de menos departículas sejam emitidas em UM intervalo de s.
(b) Calcular a probabilidade de menos departículas em intervalos (assumir independência entre intervalos).
(c) Calcular a probabilidade de exatamentepartículas em um intervalo de s.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Quando eventos raros ocorrem independentes e com taxa constante, o número de ocorrências por intervalo de tempo segue a distribuição de Poisson.
- A função massa de probabilidade da Poisson com parâmetro
é
onde:
-
é o número de eventos no intervalo considerado; -
é um número inteiro não negativo ( ); -
é a média (esperança) do número de eventos no intervalo (mesma unidade de tempo/intervalo). - Propriedade útil: se contar eventos em intervalos independentes e de mesma duração, o total em vários intervalos é Poisson com parâmetro somado (aditividade): se cada intervalo tem média
, então intervalos têm média .
Passo 3
Resolvendo (a). Precisamos de
para um intervalo de
s com
. Isso é
Usando a fórmula da Poisson:
Passo 4
Cálculo numérico de (a) passo a passo.
- Primeiro calcule
com :
- Agora
Somando:
Passo 5
Resolvendo (b). Interpretação e método escolhido.
- Assumindo que os
intervalos são independentes e que queremos a probabilidade de que o total de partículas em todos os intervalos seja menor que , usamos a propriedade de aditividade da Poisson. - Cada intervalo de
s tem média . Em intervalos a média total é
- Logo o número total em 10 intervalos segue
. Precisamos de
com
.
Passo 6
Cálculo numérico de (b).
-
é extremamente pequeno:
- Então
Somando os três termos dominantes, obtemos aproximadamente
(Praticamente zero — muito improvável haver menos de 3 partículas no total em 10 intervalos quando a média total é
.)
Passo 7
Resolvendo (c). Ajuste do parâmetro
para
segundos e aplicação da fórmula.
- A média é proporcional ao tempo. Como
s é o dobro de s, a média em s é
- Queremos a probabilidade de exatamente
partículas em s:
Passo 8
Cálculo numérico de (c) detalhado.
- Primeiro
. - Calcule
:
-
. Então
- Finalmente
Passo 9
Interpretação rápida e incentivo.
- Resultado (a) diz que em um intervalo típico de
s há cerca de de chance de ter menos de 3 partículas — não é raro. - Resultado (b) mostra que, somando 10 intervalos, é praticamente impossível (probabilidade ~
) ter menos de 3 partículas no total quando a média total é . - Resultado (c) dá cerca de
de chance de exatamente 5 partículas em s.
Força aí — você já entendeu o raciocínio: Poisson, somar médias para intervalos maiores, e usar a fórmula direitinho. Dá pra fazer na prova tranquileza se você souber calcular exponenciais e potências (ou usar calculadora para a parte numérica).
Resposta
(a)
(b)
(c)