Em um mês com 30 dias ocorreram 18 inconsistências reportadas em um sistema (todas independentes e raras). Assuma que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma Poisson com média diária \lambda=18 / 30.
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer exatamente zero inconsistências nesse dia.

Passo 1

O enunciado diz que em 30 dias ocorreram 18 inconsistências no total e que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma distribuição de Poisson com média diária \lambda = 18 / 30. A pergunta é: para um dia selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de ocorrer exatamente zero inconsistências nesse dia?
Informações relevantes dadas:
\lambda = \dfrac{18}{30}.
Queremos \Pr(\text{zero inconsistências em um dia})ê.

Passo 2

Entender o que significa a média \lambda. Aqui \lambda é a média (valor esperado) do número de inconsistências por dia. Vamos calcular seu valor numérico:
\lambda = \frac{18}{30} = 0,6.
Isso significa que, em média, aparecem 0,6 inconsistências por dia.

Passo 3

Lembrar a fórmula para a probabilidade de exatamente k ocorrências num modelo de Poisson. A fórmula é:
\Pr(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},
onde X é o número de ocorrências no dia, \lambda é a média, k! é o fatorial de k (por exemplo, 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, etc.), e e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828\ldots).
Explicando cada termo de forma simples:
  • e^{-\lambda} dá a decaída da probabilidade quando a média \lambda aumenta.
  • \lambda^{k} pondera pela quantidade k de eventos que queremos.
  • k! normaliza pelo número de permutações quando k eventos ocorrem.

Passo 4

Aplicar a fórmula para k=0. Substituindo k=0 e \lambda=0,6 na fórmula:
\Pr(X=0)=\frac{e^{-0,6}\,0,6^{0}}{0!}.
Sabendo que 0,6^{0}=1 e 0! = 1, simplifica para
\Pr(X=0)=e^{-0,6}.
Então a resposta exata é e^{-0,6}.

Passo 5

Agora vamos obter uma boa aproximação numérica de e^{-0,6} sem depender de calculadora complexa. Uma forma prática é usar a expansão em série da exponencial para e^{0,6} e inverter:
e^{0,6} \approx 1 + 0,6 + \frac{0,6^{2}}{2!} + \frac{0,6^{3}}{3!} + \frac{0,6^{4}}{4!}.
Calculemos termo a termo:
0,6^{2}=0,36,\quad \frac{0,36}{2}=0,18.
0,6^{3}=0,216,\quad \frac{0,216}{6}=0,036.
0,6^{4}=0,1296,\quad \frac{0,1296}{24}=0,0054.
Somando os termos:
e^{0,6}\approx 1 + 0,6 + 0,18 + 0,036 + 0,0054 = 1,8214.
Portanto
e^{-0,6}=\frac{1}{e^{0,6}}\approx \frac{1}{1,8214}\approx 0,549.
Se quisermos uma precisão um pouco maior (usando que e^{-0,6} é aproximadamente 0,5488), podemos reportar:
e^{-0,6}\approx 0,5488.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de não ocorrer nenhuma inconsistência em um dia aleatório, dado o modelo e a média fornecida, é e^{-0,6}, aproximadamente 0,5488. Isso significa que um pouco mais da metade dos dias não terá inconsistências, segundo o modelo e os dados fornecidos — um resultado intuitivo já que a média diária é menor que 1.

Resposta

\Pr(X=0)=e^{-0,6}\approx0,5488

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