Em um mês com 30 dias ocorreram 18 inconsistências reportadas em um sistema (todas independentes e raras). Assuma que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma Poisson com média diária
.
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer exatamente zero inconsistências nesse dia.
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer exatamente zero inconsistências nesse dia.
Passo 1
O enunciado diz que em 30 dias ocorreram 18 inconsistências no total e que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma distribuição de Poisson com média diária
. A pergunta é: para um dia selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de ocorrer exatamente zero inconsistências nesse dia?
Informações relevantes dadas:
Queremos .
Queremos
Passo 2
Entender o que significa a média
. Aqui
é a média (valor esperado) do número de inconsistências por dia. Vamos calcular seu valor numérico:
Isso significa que, em média, aparecem
inconsistências por dia.
Passo 3
Lembrar a fórmula para a probabilidade de exatamente
ocorrências num modelo de Poisson. A fórmula é:
onde
é o número de ocorrências no dia,
é a média,
é o fatorial de
(por exemplo,
,
,
, etc.), e
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente
).
Explicando cada termo de forma simples:
-
dá a decaída da probabilidade quando a média aumenta. -
pondera pela quantidade de eventos que queremos. -
normaliza pelo número de permutações quando eventos ocorrem.
Passo 4
Aplicar a fórmula para
. Substituindo
e
na fórmula:
Sabendo que
e
, simplifica para
Então a resposta exata é
.
Passo 5
Agora vamos obter uma boa aproximação numérica de
sem depender de calculadora complexa. Uma forma prática é usar a expansão em série da exponencial para
e inverter:
Calculemos termo a termo:
Somando os termos:
Portanto
Se quisermos uma precisão um pouco maior (usando que
é aproximadamente
), podemos reportar:
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de não ocorrer nenhuma inconsistência em um dia aleatório, dado o modelo e a média fornecida, é
, aproximadamente
. Isso significa que um pouco mais da metade dos dias não terá inconsistências, segundo o modelo e os dados fornecidos — um resultado intuitivo já que a média diária é menor que 1.