Os tempos de vida (em anos) de um tipo de motor são aproximadamente distribuídos normalmente com média \mu=10,2 anos e desvio-padrão \sigma=1,1.
a) Calcule a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre \mathbf{9 , 7} e 9,9 anos.
b) Uma premiação será dada aos motores com vida útil mais alta, de modo que aproximadamente \mathbf{2 , 5 \%} dos motores sejam premiados. Qual o tempo de corte (em anos) para receber a premiação?

Passo 1

O enunciado dá que os tempos de vida X (em anos) seguem uma distribuição aproximadamente normal com média e desvio-padrão conhecidos:
\mu=10,2,\qquad \sigma=1,1.
As perguntas são duas:
(a) calcular a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre 9,7 e 9,9 anos, isto é, calcular P(9,7\le X\le 9,9);
(b) encontrar o tempo de corte c tal que aproximadamente 2,5\% dos motores tenham vida útil maior ou igual a c, ou seja, achar c tal que P(X\ge c)=0,025.

Passo 2

Para trabalhar com a distribuição normal usamos a padronização: transformamos X em uma variável normal padrão Z com média 0 e desvio 1 usando a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando a fórmula: \mu é a média da distribuição original (a posição central), \sigma é o desvio-padrão (a escala), e subtrair \mu desloca a variável para média zero; dividir por \sigma ajusta a escala para desvio 1. Após isso podemos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z). Então para um intervalo qualquer:
P(a\le X\le b)=\Phi\!\bigg(\frac{b-\mu}{\sigma}\bigg)-\Phi\!\bigg(\frac{a-\mu}{\sigma}\bigg).

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites do item (a).
Para a=9,7:
z_a=\frac{9,7-10,2}{1,1}=\frac{-0,5}{1,1}\approx -0,4545.
Para b=9,9:
z_b=\frac{9,9-10,2}{1,1}=\frac{-0,3}{1,1}\approx -0,2727.
Portanto
P(9,7\le X\le 9,9)=\Phi(z_b)-\Phi(z_a)=\Phi(-0,2727)-\Phi(-0,4545).

Passo 4

Agora precisamos avaliar \Phi(-0,2727) e \Phi(-0,4545). Lembrando que \Phi(-z)=1-\Phi(z) por simetria da normal padrão. Vamos estimar \Phi(z) usando valores tabelados e, se necessário, uma pequena interpolação.
Primeiro calculemos \Phi(0,2727). A tabela dá \Phi(0,27)\approx 0,6064. A derivada de \Phi é a densidade padrão \varphi(z)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}. Em z\approx 0,27,
\varphi(0,27)\approx 0,39894\cdot e^{-0,27^2/2}\approx 0,3848.
A diferença entre 0,2727 e 0,27 é 0,0027, então uma interpolação linear dá aumento aproximado 0,3848\times 0,0027\approx 0,00104. Assim
\Phi(0,2727)\approx 0,6064+0,00104=0,60744,
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\Phi(-0,2727)=1-\Phi(0,2727)\approx 1-0,60744=0,39256.
Agora \Phi(0,4545). A tabela dá \Phi(0,45)\approx 0,6736. Em z\approx 0,45,
\varphi(0,45)\approx 0,39894\cdot e^{-0,45^2/2}\approx 0,3603.
A diferença entre 0,4545 e 0,45 é 0,0045, então acréscimo aproximado 0,3603\times 0,0045\approx 0,00162. Assim
\Phi(0,4545)\approx 0,6736+0,00162=0,67522,
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\Phi(-0,4545)=1-\Phi(0,4545)\approx 1-0,67522=0,32478.
Subtraindo:
P(9,7\le X\le 9,9)\approx 0,39256-0,32478=0,06778\approx 0,0678.
Interpretando: isso corresponde a aproximadamente 6,78\% dos motores.

Passo 5

Agora o item (b). Queremos c tal que P(X\ge c)=0,025. Isso equivale a
P(X\le c)=1-0,025=0,975.
Padronizando,
\Phi\!\bigg(\frac{c-\mu}{\sigma}\bigg)=0,975.
O valor z tal que \Phi(z)=0,975 é bem conhecido: z_{0,975}\approx 1,96 (tabela da normal). Portanto
\frac{c-\mu}{\sigma}=1,96\quad\Rightarrow\quad c=\mu+1,96\cdot\sigma.

Passo 6

Substituindo os números:
c=10,2+1,96\cdot 1,1=10,2+2,156=12,356\approx 12,36.
Interpretação: aproximadamente 2,5\% dos motores têm vida útil maior que 12,36 anos, então esse é o tempo de corte para a premiação.

Resposta

(a) \,0,0678 (aprox. 6,78\%)
(b) \,12,36 anos

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