Os tempos de vida (em anos) de um tipo de motor são aproximadamente distribuídos normalmente com média
anos e desvio-padrão
.
a) Calcule a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre
e 9,9 anos.
b) Uma premiação será dada aos motores com vida útil mais alta, de modo que aproximadamente
dos motores sejam premiados. Qual o tempo de corte (em anos) para receber a premiação?
a) Calcule a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre
b) Uma premiação será dada aos motores com vida útil mais alta, de modo que aproximadamente
Passo 1
O enunciado dá que os tempos de vida
(em anos) seguem uma distribuição aproximadamente normal com média e desvio-padrão conhecidos:
As perguntas são duas:
(a) calcular a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre e
anos, isto é, calcular
;
(b) encontrar o tempo de corte tal que aproximadamente
dos motores tenham vida útil maior ou igual a
, ou seja, achar
tal que
.
(a) calcular a probabilidade de que um motor escolhido aleatoriamente tenha vida útil entre
(b) encontrar o tempo de corte
Passo 2
Para trabalhar com a distribuição normal usamos a padronização: transformamos
em uma variável normal padrão
com média
e desvio
usando a fórmula
Explicando a fórmula:
é a média da distribuição original (a posição central),
é o desvio-padrão (a escala), e subtrair
desloca a variável para média zero; dividir por
ajusta a escala para desvio 1. Após isso podemos usar a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por
. Então para um intervalo qualquer:
Passo 3
Aplicando a padronização aos limites do item (a).
Para
:
Para
:
Portanto
Passo 4
Agora precisamos avaliar
e
. Lembrando que
por simetria da normal padrão. Vamos estimar
usando valores tabelados e, se necessário, uma pequena interpolação.
Primeiro calculemos
. A tabela dá
. A derivada de
é a densidade padrão
. Em
,
A diferença entre
e
é
, então uma interpolação linear dá aumento aproximado
. Assim
logo
Agora
. A tabela dá
. Em
,
A diferença entre
e
é
, então acréscimo aproximado
. Assim
logo
Subtraindo:
Interpretando: isso corresponde a aproximadamente
dos motores.
Passo 5
Agora o item (b). Queremos
tal que
. Isso equivale a
Padronizando,
O valor
tal que
é bem conhecido:
(tabela da normal). Portanto
Passo 6
Substituindo os números:
Interpretação: aproximadamente
dos motores têm vida útil maior que
anos, então esse é o tempo de corte para a premiação.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) anos
(b)