Uma fábrica embala tomadas em lotes de 20 unidades. O controle de qualidade, ao receber um lote, seleciona aleatoriamente 6 unidades sem reposição para teste. O lote é aceito se forem encontradas no máximo 1 tomada defeituosa na amostra. Suponha que o lote sorteado contém exatamente 3 unidades defeituosas (entre as 20 ). Qual a probabilidade de que o lote seja aceito pelo critério acima?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que um lote seja aceito. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Tamanho do lote: }20\text{ unidades},\\\ &\text{Número de unidades testadas (amostra): }6,\\\ &\text{Número de unidades defeituosas no lote: }3,\\\ &\text{Critério de aceitação: no máximo 1 tomada defeituosa na amostra (ou seja, 0 ou 1).} \end{aligned}úúéçãá
A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao retirar aleatoriamente 6 unidades sem reposição, sejam encontradas no máximo 1 defeituosa?

Passo 2

Modelo e ideia geral (sem calcular ainda). Como a amostragem é feita sem reposição, usamos o raciocínio combinatório (hipergeométrico). A probabilidade de obter exatamente k tomadas defeituosas na amostra de 6 é dada por contar quantas amostras têm k defeituosas e 6-k não defeituosas, divididas pelo número total de amostras possíveis. Em fórmulas:
P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{17}{6-k}}{\binom{20}{6}},
onde \binom{n}{r} é o número de combinações de n elementos tomados r a r.

Passo 3

Explicando a fórmula: \binom{3}{k} conta as maneiras de escolher k defeituosas entre as 3 disponíveis. \binom{17}{6-k} conta as maneiras de escolher as restantes 6-k boas entre as 17 não defeituosas. \binom{20}{6} é o número total de amostras de 6 unidades retiradas das 20. Tudo isso vem da ideia “contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis”.

Passo 4

Vamos calcular P(X=0) (nenhuma defeituosa):
P(X=0)=\frac{\binom{3}{0}\binom{17}{6}}{\binom{20}{6}}.
Calculemos cada combinação:
\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{17}{6}=12376,\qquad \binom{20}{6}=38760.
Logo
P(X=0)=\frac{12376}{38760}.

Passo 5

Agora calculamos P(X=1) (exatamente uma defeituosa):
P(X=1)=\frac{\binom{3}{1}\binom{17}{5}}{\binom{20}{6}}.
Calculemos:
\binom{3}{1}=3,\qquad \binom{17}{5}=6188,\qquad \binom{20}{6}=38760.
Portanto
P(X=1)=\frac{3\cdot 6188}{38760}=\frac{18564}{38760}.

Passo 6

Probabilidade de aceitação = P(X=0)+P(X=1). Somando as frações:
P(\text{aceita})=\frac{12376}{38760}+\frac{18564}{38760}=\frac{30940}{38760}.

Passo 7

Vamos simplificar a fração \dfrac{30940}{38760}. Primeiro dividimos por 20:
\frac{30940}{38760}=\frac{1547}{1938}.
Aplicando o algoritmo de Euclides para achar o máximo divisor comum de 1547 e 1938:
1938-1547=391,\quad 1547-3\cdot391=374,\quad 391-374=17,\quad 374=22\cdot17,
logo o m.d.c. é 17. Dividindo por 17:
\frac{1547}{1938}=\frac{91}{114}.

Passo 8

Converter para decimal (aproximação):
\frac{91}{114}\approx 0,79825.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, quando há exatamente 3 defeituosas no lote de 20, a chance de o lote ser aceito (ou seja, a amostra de 6 mostrar no máximo 1 defeituosa) é cerca de 79{,}8\%. Você foi bem até aqui — essa é uma aplicação direta da contagem combinatória/hipergeométrica, que é ótima para amostras sem reposição.

Resposta

\dfrac{91}{114}\approx 0,79825

Exercícios relacionados