Uma fábrica embala tomadas em lotes de 20 unidades. O controle de qualidade, ao receber um lote, seleciona aleatoriamente 6 unidades sem reposição para teste. O lote é aceito se forem encontradas no máximo 1 tomada defeituosa na amostra. Suponha que o lote sorteado contém exatamente 3 unidades defeituosas (entre as 20 ). Qual a probabilidade de que o lote seja aceito pelo critério acima?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que um lote seja aceito. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
A pergunta é: qual a probabilidade de que, ao retirar aleatoriamente 6 unidades sem reposição, sejam encontradas no máximo 1 defeituosa?
Passo 2
Modelo e ideia geral (sem calcular ainda). Como a amostragem é feita sem reposição, usamos o raciocínio combinatório (hipergeométrico). A probabilidade de obter exatamente
tomadas defeituosas na amostra de
é dada por contar quantas amostras têm
defeituosas e
não defeituosas, divididas pelo número total de amostras possíveis. Em fórmulas:
onde
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.
Passo 3
Explicando a fórmula:
conta as maneiras de escolher
defeituosas entre as
disponíveis.
conta as maneiras de escolher as restantes
boas entre as
não defeituosas.
é o número total de amostras de
unidades retiradas das
. Tudo isso vem da ideia “contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis”.
Passo 4
Vamos calcular
(nenhuma defeituosa):
Calculemos cada combinação:
Logo
Passo 5
Agora calculamos
(exatamente uma defeituosa):
Calculemos:
Portanto
Passo 6
Probabilidade de aceitação =
. Somando as frações:
Passo 7
Vamos simplificar a fração
. Primeiro dividimos por
:
Aplicando o algoritmo de Euclides para achar o máximo divisor comum de
e
:
logo o m.d.c. é
. Dividindo por
:
Passo 8
Converter para decimal (aproximação):
Passo 9
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, quando há exatamente
defeituosas no lote de
, a chance de o lote ser aceito (ou seja, a amostra de
mostrar no máximo 1 defeituosa) é cerca de
. Você foi bem até aqui — essa é uma aplicação direta da contagem combinatória/hipergeométrica, que é ótima para amostras sem reposição.