- Uma mesa de coquetel tem um tampo giratório, que é uma tábua circular de raio
e massa
, capaz de girar com atrito desprezível em torno do eixo vertical da mesa. Uma bala de massa
e velocidade
, disparada por um convidado que abusou dos coquetéis, numa direção horizontal, vai-se encravar na periferia da tábua. (a) Qual é a velocidade angular de rotação adquirida pela tábua? (b) Que fração da energia cinética inicial é perdida no impacto?
Passo 1
O enunciado dá uma tábua circular (tampo giratório) de raio
e massa
que gira sem atrito em torno de um eixo vertical. Uma bala de massa
(com
) atinge e se encrava na periferia da tábua, com velocidade horizontal
, perpendicular ao raio no ponto de impacto. Perguntas:
(a) Qual é a velocidade angular adquirida pela tábua + bala após o impacto?
(b) Que fração da energia cinética inicial da bala é perdida no impacto?
(a) Qual é a velocidade angular
(b) Que fração da energia cinética inicial da bala é perdida no impacto?
Informações relevantes que usaremos (todas pegues do enunciado):
- Raio da tábua:
. - Massa da tábua:
. - Massa da bala:
. - Velocidade inicial da bala:
. - A bala se encrava na borda (distância ao eixo igual a
). - Atrito desprezível durante a rotação (logo, torque externo desprezível durante o impacto).
Passo 2
Princípio físico chave: momento angular em relação ao eixo vertical é conservado durante o impacto, porque não há torque externo significativo (através do contato do eixo com a mesa o atrito é desprezível no enunciado). Vou explicar como calcular o momento angular inicial da bala.
Para uma partícula de massa
com velocidade linear
a uma distância
do eixo, o momento angular (magnitude) em relação ao eixo é
onde
é o momento linear
e
é o ângulo entre
e
. No nosso caso a bala atinge a periferia perpendicular ao raio, isto é
e
. Portanto o momento angular inicial da bala em relação ao eixo é
Passo 3
Agora calculamos o momento de inércia final do sistema (tábua + bala encravada). Explico o que é momento de inércia: é a “massa efetiva” para rotações, depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo.
- Para um disco uniforme de massa
e raio que gira em torno do eixo central vertical, o momento de inércia é conhecido e vale
(Se não lembrar: deriva-se integrando
sobre o disco; o resultado padrão é
.)
- A bala, depois de encravar na borda, pode ser tratada como uma partícula pontual a distância
do eixo. O momento de inércia dessa partícula é
Logo o momento de inércia total após o impacto é
Passo 4
Aplicando conservação do momento angular: momento angular inicial (apenas da bala antes de encravar) igual ao momento angular final (do conjunto girando com velocidade angular
):
Substituindo
:
Isolando
: primeiro fatorando
no denominador
Cancelando um fator
:
É uma expressão exata válida para qualquer
. Como
, a forma aproximada útil é
Passo 5
Agora determinamos a energia perdida. Primeiro, energia cinética inicial: apenas a bala tem energia antes do impacto,
Depois do impacto, toda energia cinética é rotacional (tábua + bala) com
Uma forma prática de calcular
é usar que
, então
Como
e
, obtemos
Agora a fração da energia inicial que permanece (razão
):
Portanto a fração da energia inicial que é perdida no impacto é
Uma forma equivalente já simplificada é
.
Para
isso dá
, ou seja, praticamente toda a energia cinética inicial da bala é dissipada (em calor, som, deformação), apenas uma pequena fração
fica como energia rotacional.
Passo 6
Recapitulando intuitivamente: o momento angular é conservado, o disco pesado começa a girar com pequena velocidade angular, por isso a maior parte da energia da bala é perdida na colisão inelástica (a bala fica presa), apesar de a quantidade de momento angular ser suficiente para determinar
.
Resposta
(a)
(b)