1. Uma mesa de coquetel tem um tampo giratório, que é uma tábua circular de raio R e massa M, capaz de girar com atrito desprezível em torno do eixo vertical da mesa. Uma bala de massa m \ll M e velocidade v, disparada por um convidado que abusou dos coquetéis, numa direção horizontal, vai-se encravar na periferia da tábua. (a) Qual é a velocidade angular de rotação adquirida pela tábua? (b) Que fração da energia cinética inicial é perdida no impacto?

Passo 1

O enunciado dá uma tábua circular (tampo giratório) de raio R e massa M que gira sem atrito em torno de um eixo vertical. Uma bala de massa m (com m\ll M) atinge e se encrava na periferia da tábua, com velocidade horizontal v, perpendicular ao raio no ponto de impacto. Perguntas:
(a) Qual é a velocidade angular \omega adquirida pela tábua + bala após o impacto?
(b) Que fração da energia cinética inicial da bala é perdida no impacto?
Informações relevantes que usaremos (todas pegues do enunciado):
  • Raio da tábua: R.
  • Massa da tábua: M.
  • Massa da bala: m.
  • Velocidade inicial da bala: v.
  • A bala se encrava na borda (distância ao eixo igual a R).
  • Atrito desprezível durante a rotação (logo, torque externo desprezível durante o impacto).

Passo 2

Princípio físico chave: momento angular em relação ao eixo vertical é conservado durante o impacto, porque não há torque externo significativo (através do contato do eixo com a mesa o atrito é desprezível no enunciado). Vou explicar como calcular o momento angular inicial da bala.
Para uma partícula de massa m com velocidade linear \vec{v} a uma distância \vec{r} do eixo, o momento angular (magnitude) em relação ao eixo é
L = r\,p\,\sin\theta,
onde p é o momento linear p=m v e \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{v}. No nosso caso a bala atinge a periferia perpendicular ao raio, isto é \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Portanto o momento angular inicial da bala em relação ao eixo é
L_{\text{inicial}} = m v R.

Passo 3

Agora calculamos o momento de inércia final do sistema (tábua + bala encravada). Explico o que é momento de inércia: é a “massa efetiva” para rotações, depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo.
  • Para um disco uniforme de massa M e raio R que gira em torno do eixo central vertical, o momento de inércia é conhecido e vale
I_{\text{tábua}}=\tfrac{1}{2} M R^{2}.á
(Se não lembrar: deriva-se integrando r^{2}\,dm sobre o disco; o resultado padrão é \tfrac{1}{2}MR^2.)
  • A bala, depois de encravar na borda, pode ser tratada como uma partícula pontual a distância R do eixo. O momento de inércia dessa partícula é
I_{\text{bala}}=m R^{2}.
Logo o momento de inércia total após o impacto é
I_{\text{total}}=I_{\text{tábua}}+I_{\text{bala}}=\tfrac{1}{2} M R^{2} + m R^{2}.á

Passo 4

Aplicando conservação do momento angular: momento angular inicial (apenas da bala antes de encravar) igual ao momento angular final (do conjunto girando com velocidade angular \omega):
m v R = I_{\text{total}}\,\omega.
Substituindo I_{\text{total}}:
m v R = \Big(\tfrac{1}{2} M R^{2} + m R^{2}\Big)\omega.
Isolando \omega: primeiro fatorando R^{2} no denominador
\omega = \frac{m v R}{\big(\tfrac{1}{2} M R^{2} + m R^{2}\big)}.
Cancelando um fator R:
\omega = \frac{m v}{\big(\tfrac{1}{2} M + m\big)\,R}.
É uma expressão exata válida para qualquer m. Como m\ll M, a forma aproximada útil é
\omega \approx \frac{2 m v}{M R}\qquad\text{(quando \(m\ll M\), desprezando o \(m\) no denominador)}.

Passo 5

Agora determinamos a energia perdida. Primeiro, energia cinética inicial: apenas a bala tem energia antes do impacto,
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Depois do impacto, toda energia cinética é rotacional (tábua + bala) com
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2} I_{\text{total}} \omega^{2}.
Uma forma prática de calcular K_{\text{final}} é usar que L^{2}=I_{\text{total}}^{2}\omega^{2}, então
K_{\text{final}}=\frac{1}{2}I_{\text{total}}\omega^{2}=\frac{L^{2}}{2 I_{\text{total}}}.
Como L=m v R e I_{\text{total}}=\big(\tfrac{1}{2}M + m\big)R^{2}, obtemos
K_{\text{final}}=\frac{(m v R)^{2}}{2\big(\tfrac{1}{2}M + m\big)R^{2}}=\frac{m^{2} v^{2}}{2\big(\tfrac{1}{2}M + m\big)}.
Agora a fração da energia inicial que permanece (razão K_{\text{final}}/K_{\text{inicial}}):
\frac{K_{\text{final}}}{K_{\text{inicial}}} = \frac{\dfrac{m^{2} v^{2}}{2\big(\tfrac{1}{2}M + m\big)}}{\dfrac{1}{2} m v^{2}} = \frac{m}{\tfrac{1}{2}M + m} = \frac{2m}{M + 2m}.
Portanto a fração da energia inicial que é perdida no impacto é
\Delta = 1 - \frac{K_{\text{final}}}{K_{\text{inicial}}} = 1 - \frac{2m}{M+2m} = \frac{M}{M+2m}.
Uma forma equivalente já simplificada é \Delta = \dfrac{M}{M+2m}.
Para m\ll M isso dá \Delta \approx 1 - \dfrac{2m}{M}, ou seja, praticamente toda a energia cinética inicial da bala é dissipada (em calor, som, deformação), apenas uma pequena fração \approx \dfrac{2m}{M} fica como energia rotacional.

Passo 6

Recapitulando intuitivamente: o momento angular é conservado, o disco pesado começa a girar com pequena velocidade angular, por isso a maior parte da energia da bala é perdida na colisão inelástica (a bala fica presa), apesar de a quantidade de momento angular ser suficiente para determinar \omega.

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\frac{m v}{\big(\tfrac{1}{2}M + m\big)\,R}
(b) \displaystyle \text{fração da energia perdida}=\frac{M}{M+2m}çã

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