Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m_{1}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{e} m_{2}=3 \mathrm{~kg} ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento igual a 20 cm está em repouso. Em um determinado instante , as forças \overrightarrow{F_{1}}=3 \hat{\jmath} \mathrm{~N} e \overrightarrow{F_{2}}=-4 \hat{\imath} \mathrm{~N} passam a atuar respectivamente sobre as massas 1 kg e 3 kg . Desprezando o atrito
(a) calcule a posição do CM do sistema em função do tempo.
(b) Qual a trajetória do CM ?
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas massas ligadas por uma haste rígida e pede duas coisas:
(a) calcular a posição do centro de massa (CM) do sistema em função do tempo;
(b) dizer qual é a trajetória do CM.
As informações relevantes fornecidas são:
m_{1}=1\\ \mathrm{kg};
m_{2}=3\\ \mathrm{kg};
comprimento da haste L=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m};
as forças aplicadas, constantes, são \overrightarrow{F_{1}}=3\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N} sobre m_{1} e \overrightarrow{F_{2}}=-4\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N} sobre m_{2};
o sistema está inicialmente em repouso (velocidade inicial do CM nula);
desprezamos atrito.
O que precisamos achar: \vec r_{CM}(t) e a forma geométrica da sua trajetória.
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas confortável para calcular: coloco a origem no ponto onde está m_{1} no instante inicial (isso é permitido e facilita contas). Pelo enunciado e figura, as duas massas estão alinhadas horizontalmente, com m_{2} à direita de m_{1} à distância L. Portanto, nas coordenadas escolhidas:
\vec r_{1}(0)= (0,0),\qquad \vec r_{2}(0)=(L,0)=(0,20\\ \text{cm},0)=(0,0,20\\ \text{m})\\ \text{(aqui vamos usar metros: }(0,0,20\\ \text{m})\text{ está incorreto; ver cálculo abaixo).}áá
Vou corrigir para valores em metros: \vec r_{1}(0)=(0,0) e \vec r_{2}(0)=(0,20\\ \text{cm}) foi uma confusão de notação — para evitar erro, escrevo claramente:
\vec r_{1}(0)=(0,0),\qquad \vec r_{2}(0)=(0{,}20,0)\\ \text{(esta linha estava confusa; prossigo com } \vec r_{2}(0)=(0{,}20)\text{ m).}
(Nota: para manter tudo claro, daqui em diante usarei L=0{,}20\\ \mathrm{m}, \vec r_{1}(0)=(0,0), \vec r_{2}(0)=(0{,}20) — segue resolução com essas posições.)
Passo 3
Fórmula do centro de massa para duas partículas (ou sistema discreto):
E o componente y inicial é zero porque ambas têm y=0:
y_{CM}(0)=0.
Logo
\vec r_{CM}(0)=(0{,}15,\,0)\\ \mathrm{m}.
Passo 4
Para o movimento do centro de massa de um sistema de partículas vale a versão em conjunto da 2ª lei de Newton:
M\vec a_{CM}=\sum \vec F_{\text{externas}},
onde M=m_{1}+m_{2} é a massa total e \vec a_{CM} é a aceleração do CM. Isso diz que a aceleração do CM é igual à força externa resultante dividida pela massa total. É um resultado fundamental e muito útil: não precisamos estudar o movimento relativo das massas individuais para achar a aceleração do CM, basta somar as forças externas.
Portanto os componentes são \,a_{x}=-1\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{y}=0{,}75\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Passo 7
Como o sistema estava em repouso inicialmente, temos \vec v_{CM}(0)=\vec 0. Com aceleração constante, as equações do movimento do CM (cinemática) em componentes são:
Agora a trajetória geométrica: ambos x_{CM}(t) e y_{CM}(t) são proporcional a t^{2}. Podemos eliminar t^{2} para relacionar y e x. De x_{CM}(t)=0{,}15-0{,}5\,t^{2} isolamos t^{2}:
Esse é o enunciado de uma reta: portanto a trajetória do CM é uma reta (uma linha) inclinada com coeficiente angular -0{,}75 passando pelo ponto inicial (0{,}15,0). Intuitivamente, quando a velocidade inicial é zero e a aceleração é constante (vetor não nulo), o movimento é ao longo de uma reta que tem a direção do vetor aceleração (aqui a direção é a do vetor -4\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}).
Resposta
\displaystyle \vec r_{CM}(t)=\big(0{,}15-0{,}5\,t^{2}\big)\,\hat{\imath}+\big(0{,}375\,t^{2}\big)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.\n
A trajetória do CM é uma reta dada por \displaystyle y=-0{,}75\,x+0{,}1125 (m), ou equivalentemente y-0= -0{,}75\,(x-0{,}15).