Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m_{1}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{e} m_{2}=3 \mathrm{~kg} ligadas por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento igual a 20 cm está em repouso. Em um determinado instante , as forças \overrightarrow{F_{1}}=3 \hat{\jmath} \mathrm{~N} e \overrightarrow{F_{2}}=-4 \hat{\imath} \mathrm{~N} passam a atuar respectivamente sobre as massas 1 kg e 3 kg . Desprezando o atrito
(a) calcule a posição do CM do sistema em função do tempo.
(b) Qual a trajetória do CM ?

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas massas ligadas por uma haste rígida e pede duas coisas:
  • (a) calcular a posição do centro de massa (CM) do sistema em função do tempo;
  • (b) dizer qual é a trajetória do CM.
As informações relevantes fornecidas são:
  • m_{1}=1\\ \mathrm{kg};
  • m_{2}=3\\ \mathrm{kg};
  • comprimento da haste L=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m};
  • as forças aplicadas, constantes, são \overrightarrow{F_{1}}=3\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N} sobre m_{1} e \overrightarrow{F_{2}}=-4\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N} sobre m_{2};
  • o sistema está inicialmente em repouso (velocidade inicial do CM nula);
  • desprezamos atrito.
O que precisamos achar: \vec r_{CM}(t) e a forma geométrica da sua trajetória.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas confortável para calcular: coloco a origem no ponto onde está m_{1} no instante inicial (isso é permitido e facilita contas). Pelo enunciado e figura, as duas massas estão alinhadas horizontalmente, com m_{2} à direita de m_{1} à distância L. Portanto, nas coordenadas escolhidas:
\vec r_{1}(0)= (0,0),\qquad \vec r_{2}(0)=(L,0)=(0,20\\ \text{cm},0)=(0,0,20\\ \text{m})\\ \text{(aqui vamos usar metros: }(0,0,20\\ \text{m})\text{ está incorreto; ver cálculo abaixo).}áá
Vou corrigir para valores em metros: \vec r_{1}(0)=(0,0) e \vec r_{2}(0)=(0,20\\ \text{cm}) foi uma confusão de notação — para evitar erro, escrevo claramente:
\vec r_{1}(0)=(0,0),\qquad \vec r_{2}(0)=(0{,}20,0)\\ \text{(esta linha estava confusa; prossigo com } \vec r_{2}(0)=(0{,}20)\text{ m).}
(Nota: para manter tudo claro, daqui em diante usarei L=0{,}20\\ \mathrm{m}, \vec r_{1}(0)=(0,0), \vec r_{2}(0)=(0{,}20) — segue resolução com essas posições.)

Passo 3

Fórmula do centro de massa para duas partículas (ou sistema discreto):
\vec r_{CM}(0)=\frac{m_{1}\vec r_{1}(0)+m_{2}\vec r_{2}(0)}{m_{1}+m_{2}}.
Substituindo m_{1}=1\\ \mathrm{kg}, m_{2}=3\\ \mathrm{kg}, \vec r_{1}(0)=(0,0) e \vec r_{2}(0)=(0{,}20,0) (vou escrever corretamente em duas coordenadas):
\vec r_{1}(0)=(0,0),\qquad \vec r_{2}(0)=(0{,}20)\\ \mathrm{m}.
Agora calculo o componente x inicial do CM (note que m_{1} está em x=0 e m_{2} em x=0{,}20):
x_{CM}(0)=\frac{1\cdot 0 + 3\cdot 0{,}20}{1+3}=\frac{0{,}60}{4}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
E o componente y inicial é zero porque ambas têm y=0:
y_{CM}(0)=0.
Logo
\vec r_{CM}(0)=(0{,}15,\,0)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para o movimento do centro de massa de um sistema de partículas vale a versão em conjunto da 2ª lei de Newton:
M\vec a_{CM}=\sum \vec F_{\text{externas}},
onde M=m_{1}+m_{2} é a massa total e \vec a_{CM} é a aceleração do CM. Isso diz que a aceleração do CM é igual à força externa resultante dividida pela massa total. É um resultado fundamental e muito útil: não precisamos estudar o movimento relativo das massas individuais para achar a aceleração do CM, basta somar as forças externas.

Passo 5

Calculo a força externa resultante:
\vec F_{\text{tot}}=\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}=3\,\hat{\jmath}+(-4)\,\hat{\imath}=-4\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Massa total:
M=m_{1}+m_{2}=1+3=4\\ \mathrm{kg}.
A aceleração do CM é
\vec a_{CM}=\frac{\vec F_{\text{tot}}}{M}=\frac{-4\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}}{4}=-1\,\hat{\imath}+0{,}75\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto os componentes são \,a_{x}=-1\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{y}=0{,}75\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Como o sistema estava em repouso inicialmente, temos \vec v_{CM}(0)=\vec 0. Com aceleração constante, as equações do movimento do CM (cinemática) em componentes são:
x_{CM}(t)=x_{CM}(0)+v_{x}(0)\,t+\tfrac{1}{2}a_{x}t^{2},
y_{CM}(t)=y_{CM}(0)+v_{y}(0)\,t+\tfrac{1}{2}a_{y}t^{2}.
Com v_{x}(0)=v_{y}(0)=0, x_{CM}(0)=0{,}15\\ \mathrm{m} e y_{CM}(0)=0, e usando os valores de a_{x} e a_{y} encontrados:
x_{CM}(t)=0{,}15+\tfrac{1}{2}(-1)\,t^{2}=0{,}15-0{,}5\,t^{2}\\ \mathrm{m},
y_{CM}(t)=0+\tfrac{1}{2}(0{,}75)\,t^{2}=0{,}375\,t^{2}\\ \mathrm{m}.
Logo a posição vetorial do CM pode ser escrita como
\vec r_{CM}(t)=\big(0{,}15-0{,}5\,t^{2}\big)\,\hat{\imath}+\big(0{,}375\,t^{2}\big)\,\hat{\jmath}\quad(\text{m}).

Passo 8

Agora a trajetória geométrica: ambos x_{CM}(t) e y_{CM}(t) são proporcional a t^{2}. Podemos eliminar t^{2} para relacionar y e x. De x_{CM}(t)=0{,}15-0{,}5\,t^{2} isolamos t^{2}:
t^{2}=\frac{0{,}15-x_{CM}}{0{,}5}=2(0{,}15-x_{CM}).
Substitindo em y_{CM}(t)=0{,}375\,t^{2}:
y_{CM}=0{,}375\cdot 2(0{,}15-x_{CM})=0{,}75(0{,}15-x_{CM}).
Simplificando e reescrevendo na forma usual (colocando x em primeiro plano):
y_{CM}=-0{,}75\,x_{CM}+0{,}1125.
Ou em forma ponto-direção passando por (0{,}15,0):
y_{CM}-0= \frac{a_{y}}{a_{x}}(x_{CM}-0{,}15)=(-0{,}75)(x_{CM}-0{,}15).
Esse é o enunciado de uma reta: portanto a trajetória do CM é uma reta (uma linha) inclinada com coeficiente angular -0{,}75 passando pelo ponto inicial (0{,}15,0). Intuitivamente, quando a velocidade inicial é zero e a aceleração é constante (vetor não nulo), o movimento é ao longo de uma reta que tem a direção do vetor aceleração (aqui a direção é a do vetor -4\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}).

Resposta

\displaystyle \vec r_{CM}(t)=\big(0{,}15-0{,}5\,t^{2}\big)\,\hat{\imath}+\big(0{,}375\,t^{2}\big)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.\n
A trajetória do CM é uma reta dada por \displaystyle y=-0{,}75\,x+0{,}1125 (m), ou equivalentemente y-0= -0{,}75\,(x-0{,}15).

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