Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Uma amostra de Carbono ( \rho_{R}=2,3 \times 10^{3} \Omega m ) em forma de paralelepípedo tem dimensões 12 m m \times 12 m m \times 15 m m. Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces paralelas, de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais.
a) Determine a resistência da amostra se as faces paralelas forem (1) as extremidades quadradas (de dimensões 12 \mathrm{~mm} \times 12 \mathrm{~mm} )
b) Se a diferença de potencial for igual 120,0 Volt, determine a corrente elétrica;
c) Calcule o campo elétrico dentro da amostra de carbono.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de carbono com resistividade e dimensões, e faz três perguntas separadas. Dados fornecidos:
\rho_{R}=2,3\times10^{3}\,\Omega\cdot\mathrm{m}
\text{dimensões: }12\,\text{mm}\times12\,\text{mm}\times15\,\text{mm}õ
Perguntas:
  1. Determine a resistência da amostra quando as faces equipotenciais são as extremidades quadradas de dimensões 12\,\text{mm}\times12\,\text{mm}.
  2. Se a diferença de potencial aplicada for 120,0 Volt, determine a corrente elétrica que atravessa a amostra.
  3. Calcule o campo elétrico dentro da amostra de carbono.

Passo 2

Entender o comportamento físico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta).
  • Resistividade \rho é uma propriedade do material que relaciona campo elétrico e densidade de corrente; suas unidades são \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Para um bloco com faces equipotenciais paralelas (corrente fluindo de uma face para a outra) a resistência elétrica entre essas faces é dada por:
R=\rho\frac{L}{A}
onde:
\rho é a resistividade do material;
L é a distância entre as faces equipotenciais (o comprimento pelo qual a corrente percorre);
A é a área da seção transversal perpendicular ao fluxo de corrente.
Explicação intuitiva: quanto maior \rho e maior L, maior a resistência; quanto maior A, menor a resistência (mais “espaço” para a corrente passar).

Passo 3

Identificar L e A para o caso pedido (as faces equipotenciais são as extremidades quadradas 12\,\text{mm}\times12\,\text{mm}).
  • A área da face quadrada é
A = (12\,\text{mm})\times(12\,\text{mm}).
Converter para metros (sempre usar SI nas fórmulas):
12\,\text{mm}=12\times10^{-3}\,\text{m}.
Portanto
A=(12\times10^{-3}\,\mathrm{m})^2=144\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2=1,44\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
  • A distância entre as faces (comprimento) é a dimensão perpendicular a essas faces, que é 15\,\text{mm}. Convertendo:
L=15\,\text{mm}=15\times10^{-3}\,\mathrm{m}=1,5\times10^{-2}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a resistência usando R=\rho\frac{L}{A}. Substituindo os valores (tudo em SI):
\rho=2,3\times10^{3}\,\Omega\cdot\mathrm{m},\quad L=1,5\times10^{-2}\,\mathrm{m},\quad A=1,44\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.
Fazendo o produto no numerador:
\rho\cdot L = (2,3\times10^{3})\times(1,5\times10^{-2})=2,3\times1,5\times10^{3-2}=3,45\times10^{1}=34,5.
Agora dividindo por A:
R=\frac{34,5}{1,44\times10^{-4}}.
Calculemos a divisão:
\frac{34,5}{1,44\times10^{-4}}=34,5\times\frac{1}{1,44}\times10^{4}.
Como \frac{1}{1,44}\approx0,694444, temos
R\approx34,5\times0,694444\times10^{4}\approx23,958333\times10^{4}=2,3958333\times10^{5}\,\Omega.
Arredondando de forma razoável (dados do enunciado têm duas casas em \rho e dimensões com dois algarismos), podemos escrever
R\approx2,40\times10^{5}\,\Omega.

Passo 5

Determinar a corrente usando a Lei de Ohm. A lei de Ohm para a amostra é:
V=R\,I \quad\Rightarrow\quad I=\frac{V}{R}.
Substituindo V=120,0\,\mathrm{V} e R\approx2,395833\times10^{5}\,\Omega:
I=\frac{120,0}{2,395833\times10^{5}}\\ \mathrm{A}.
Calculemos:
I\approx5,01\times10^{-4}\,\mathrm{A}.
Também podemos expressar em miliampères:
I\approx0,501\\ \mathrm{mA}.

Passo 6

Calcular o campo elétrico dentro da amostra. Para faces equipotenciais planas e campo uniforme,
E=\frac{V}{L},
onde E tem unidades de \mathrm{V/m}, V é a diferença de potencial e L a distância entre as faces. Substituindo V=120,0\,\mathrm{V} e L=1,5\times10^{-2}\,\mathrm{m}:
E=\frac{120,0}{1,5\times10^{-2}}=8,0\times10^{3}\,\mathrm{V/m}.
Direção: o campo aponta do potencial mais alto para o mais baixo, ao longo do comprimento L, e é uniforme no interior do bloco sob as hipóteses dadas.

Resposta

R\approx2,40\times10^{5}\,\Omega
I\approx5,01\times10^{-4}\,\mathrm{A} (ou 0,501\,\mathrm{mA})
E=8,0\times10^{3}\,\mathrm{V/m}

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