Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Uma amostra de Carbono ( \rho_{R}=2,3 \times 10^{3} \Omega m ) em forma de paralelepípedo tem dimensões 12 m m \times 12 m m \times 15 m m. Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces paralelas, de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais.
a) Determine a resistência da amostra se as faces paralelas forem (1) as extremidades retangulares (de dimensões 12 m m \times 15 m m );
b) Se a diferença de potencial for igual 240,0 Volt, determine a corrente elétrica;
c) Calcule a potência dissipada na amostra.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de carbono em forma de paralelepípedo e faz três perguntas. Dados e o que se pede:
  • Dado: resistividade elétrica da amostra \rho_{R} = 2,3\times10^{3}\\ \Omega\,\text{m}.
  • Dado: dimensões do paralelepípedo 12\\ \text{mm}\times 12\\ \text{mm}\times 15\\ \text{mm}.
  • Condição: a diferença de potencial é aplicada entre duas faces opostas que são superfícies equipotenciais.
  • Pergunta (a): determinar a resistência elétrica da amostra quando as faces equipotenciais são as extremidades retangulares de dimensões 12\\ \text{mm}\times 15\\ \text{mm}.
  • Pergunta (b): se a diferença de potencial for 240,0\\ \text{V}, determinar a corrente elétrica que atravessa a amostra.
  • Pergunta (c): calcular a potência dissipada na amostra.
Observação sobre a geometria (retirada do enunciado): quando as faces equipotenciais são as extremidades de dimensão 12\\ \text{mm}\times 15\\ \text{mm}, a distância entre essas faces (o comprimento do caminho da corrente) é a outra dimensão do paralelepípedo, ou seja 12\\ \text{mm}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Resistividade \rho é uma propriedade do material que indica quão difícil é para a corrente elétrica passar por ele. Unidade: \Omega\,\text{m}.
  • Para um corpo com seção transversal uniforme e comprimento L, a resistência elétrica R é dada por:
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material;
  • L é a distância entre as faces onde a tensão é aplicada (comprimento do caminho da corrente);
  • A é a área da seção transversal através da qual a corrente passa (área das faces equipotenciais).
Explicando em palavras: quanto maior o comprimento L, maior a resistência; quanto maior a área A, menor a resistência — simples como um canudo: mais comprido = mais difícil, mais largo = mais fácil.
Também usaremos a lei de Ohm para relacionar tensão V, corrente I e resistência R:
V = R\,I \quad\Rightarrow\quad I=\frac{V}{R}.
E a potência dissipada em um resistor é
P = V\,I = \frac{V^{2}}{R} = I^{2}R.

Passo 3

Conversão das unidades (muito importante): o enunciado deu dimensões em milímetros; as fórmulas usam metro. Convertemos tudo para metro.
  • 12\\ \text{mm} = 0,012\\ \text{m}.
  • 15\\ \text{mm} = 0,015\\ \text{m}.
Essas conversões são feitas lembrando que 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar a área A da face equipotencial e o comprimento L entre as faces (segundo o caso descrito).
  • A face equipotencial tem dimensões 12\\ \text{mm}\times 15\\ \text{mm}. Logo
A = (12\\ \text{mm})\times(15\\ \text{mm}) = (0,012\\ \text{m})\times(0,015\\ \text{m}) = 1,8\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
  • A distância entre essas faces (comprimento do caminho da corrente) é a dimensão restante 12\\ \text{mm}, isto é
L = 12\\ \text{mm} = 0,012\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a resistência usando \;R=\rho\frac{L}{A}\;. Substituindo os números:
R = \left(2,3\times10^{3}\\ \Omega\,\text{m}\right)\frac{0,012\\ \text{m}}{1,8\times10^{-4}\\ \text{m}^{2}}.
Façamos as contas por partes: multiplicando \rho por L,
2,3\times10^{3}\times 0,012 = 27,6.
Agora dividindo por A,
R = \frac{27,6}{1,8\times10^{-4}} = 1,5333\ldots\times10^{5}\\ \Omega.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
R \approx 1,53\times10^{5}\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a corrente quando a diferença de potencial é V=240,0\\ \text{V}. Usamos I=\dfrac{V}{R}.
Substituindo:
I = \frac{240,0\\ \text{V}}{1,5333\ldots\times10^{5}\\ \Omega} = 1,566\ldots\times10^{-3}\\ \text{A}.
Arredondando para três algarismos significativos:
I \approx 1,57\times10^{-3}\\ \text{A} = 1,57\\ \text{mA}.

Passo 7

Calcular a potência dissipada. Uso a fórmula P=V\,I (ou P=V^{2}/R). Vamos usar P=V^{2}/R como verificação:
P = \frac{(240,0\\ \text{V})^{2}}{1,5333\ldots\times10^{5}\\ \Omega} = \frac{57600}{1,5333\ldots\times10^{5}} = 0,3759\ldots\\ \text{W}.
Arredondando:
P \approx 0,376\\ \text{W}.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: prontinho — fizemos a conversão de unidades, aplicamos a fórmula da resistência para um corpo de seção uniforme, usamos a lei de Ohm para a corrente e a expressão da potência. Você já tem os números e o raciocínio para repetir esse procedimento em prova com qualquer dimensão ou resistividade. Vai dar certo — respira e confia!

Resposta

R \approx 1,53\times10^{5}\\ \Omega
I \approx 1,57\times10^{-3}\\ \text{A} (=1,57\\ \text{mA})
P \approx 0,376\\ \text{W}

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