- Metanol é adicionado a um tanque de armazenamento com uma vazão de
e é ao mesmo tempo retirado com uma vazão de
. Sabendo que em
, o tanque contém 1750 kg de líquido, qual o tempo necessário para esvaziar o tanque?
Passo 1
O enunciado dá as vazões de entrada e saída de metanol e a massa inicial do tanque, e pede o tempo até o tanque ficar vazio. Informações relevantes fornecidas:
- Vazão de entrada:
. - Vazão de saída:
. - Massa inicial no tanque em
: .
Pergunta: qual o tempo(em horas/minutos) necessário para que a massa no tanque chegue a zero?
Passo 2
Vamos modelar a variação da massa no tanque com uma equação de balanço simples. Definimos:
-
: massa de líquido no tanque (em ) no instante (em ).
A taxa de variação da massa é a diferença entre entrada e saída:
Aqui
é a derivada de
em relação a
, ou seja, quanto a massa muda por hora (unidade
). Esse é um conceito padrão: derivada = taxa instantânea de variação.
Passo 3
Substituímos as vazões numéricas na equação:
Isso significa que a massa diminui a uma taxa constante de
por hora. O sinal negativo indica redução.
Passo 4
Como
é constante, podemos integrar para obter
. Integração direta:
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
para achar
:
Portanto
Expliquei: a integração transforma a taxa (
) em massa (
), e
é a massa inicial.
Passo 5
Agora determinamos o instante
em que o tanque está vazio, ou seja,
. Resolvemos:
Passo a passo de álgebra: somo
aos dois lados e divido por
:
Simplificando a fração:
. Em forma decimal isso é
Passo 6
Convertendo horas decimais para horas e minutos: a parte fracionária
corresponde a
Logo o tempo é
horas e
minutos.
Passo 7
Resumo rápido: como a saída é maior que a entrada, a massa decresce linearmente a
. Integrando e impondo a condição inicial chegamos ao tempo até massa zero. Dá para fazer essa conta de cabeça ou com papel em poucos passos — ótimo para prova. Força aí, você consegue!