1. Metanol é adicionado a um tanque de armazenamento com uma vazão de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e é ao mesmo tempo retirado com uma vazão de 1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Sabendo que em \mathrm{t}=0, o tanque contém 1750 kg de líquido, qual o tempo necessário para esvaziar o tanque?

Passo 1

O enunciado dá as vazões de entrada e saída de metanol e a massa inicial do tanque, e pede o tempo até o tanque ficar vazio. Informações relevantes fornecidas:
  • Vazão de entrada: \dot m_{\text{in}} = 1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vazão de saída: \dot m_{\text{out}} = 1200\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa inicial no tanque em t=0: m(0)=1750\\ \mathrm{kg}.
    Pergunta: qual o tempo t (em horas/minutos) necessário para que a massa no tanque chegue a zero?

Passo 2

Vamos modelar a variação da massa no tanque com uma equação de balanço simples. Definimos:
  • m(t): massa de líquido no tanque (em \mathrm{kg}) no instante t (em \mathrm{h}).
    A taxa de variação da massa é a diferença entre entrada e saída:
m'(t)=\dot m_{\text{in}}-\dot m_{\text{out}}.
Aqui m'(t) é a derivada de m em relação a t, ou seja, quanto a massa muda por hora (unidade \mathrm{kg/h}). Esse é um conceito padrão: derivada = taxa instantânea de variação.

Passo 3

Substituímos as vazões numéricas na equação:
m'(t)=1000-1200=-200\\ \mathrm{kg/h}.
Isso significa que a massa diminui a uma taxa constante de 200\\ \mathrm{kg} por hora. O sinal negativo indica redução.

Passo 4

Como m'(t) é constante, podemos integrar para obter m(t). Integração direta:
m(t)=\int m'(t)\,dt = \int (-200)\,dt = -200t + C,
onde C é a constante de integração. Usamos a condição inicial m(0)=1750\\ \mathrm{kg} para achar C:
m(0)=-200\cdot 0 + C = C = 1750.
Portanto
m(t)=1750-200t.
Expliquei: a integração transforma a taxa ( \mathrm{kg/h}) em massa ( \mathrm{kg}), e C é a massa inicial.

Passo 5

Agora determinamos o instante t em que o tanque está vazio, ou seja, m(t)=0. Resolvemos:
1750-200t=0.
Passo a passo de álgebra: somo 200t aos dois lados e divido por 200:
200t=1750,
t=\frac{1750}{200}.
Simplificando a fração: \dfrac{1750}{200}=\dfrac{175}{20}=\dfrac{35}{4}. Em forma decimal isso é
t=8{,}75\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Convertendo horas decimais para horas e minutos: a parte fracionária 0{,}75\\ \mathrm{h} corresponde a
0{,}75\times 60 = 45\\ \text{min}.
Logo o tempo é 8 horas e 45 minutos.

Passo 7

Resumo rápido: como a saída é maior que a entrada, a massa decresce linearmente a -200\\ \mathrm{kg/h}. Integrando e impondo a condição inicial chegamos ao tempo até massa zero. Dá para fazer essa conta de cabeça ou com papel em poucos passos — ótimo para prova. Força aí, você consegue!

Resposta

\,8\\ \text{h}\;45\\ \text{min}

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