Mostrando os detalhes do que fizer, encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
da função
Informações dadas:
(variável de tempo),
é uma constante (presumidamente real). O objetivo é encontrar
como função de
e indicar para quais
a transformada converge.
Passo 2
Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace e duas propriedades que vamos usar.
Definição:
Definição:
Duas propriedades úteis (que vou justificar em passos seguintes):
- propriedade de multiplicação por
:
- propriedade de deslocamento exponencial (shifting): para qualquer constante
,
A estratégia será: calcular
, usar a propriedade 1 para obter
, e finalmente aplicar a propriedade 2 com
para obter a transformada da função dada.
Passo 3
Demonstro a propriedade
.
Se , então, sob hipóteses que garantem troca de derivada e integral,
Se
Portanto
ou seja
como prometido. Essa propriedade é muito útil porque transforma multiplicação por
no tempo em derivada em
.
Passo 4
Calculo
.
Começo pela integral
Começo pela integral
Uma antiderivada conhecida é
Avalio de
até
e tomo
. Se
, então
tende a
quando
, e o termo no infinito desaparece. No limite em
obtemos
válido para
.
Passo 5
Agora uso a propriedade do Passo 3 com
.
Se , então
Se
Calculo a derivada passo a passo:
Com o sinal menos da propriedade obtemos
Esse resultado vale para
.
Passo 6
Agora aplico a propriedade de deslocamento exponencial: para qualquer
,
No nosso caso
e
. Portanto
é obtida substituindo
por
na expressão de
encontrada no Passo 5. (Não escrevo aqui a expressão final para deixar a resposta final só na seção indicada.)
Passo 7
Sobre a região de convergência: como a expressão de
exigia
, após substituir
por
a condição vira
, isto é
. Isso indica para quais valores de
a transformada encontrada é válida.