Mostrando os detalhes do que fizer, encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
quando
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta: calcular
(ou seja, a transformada de Laplace dessa função) e apresentar o resultado final.
Passo 2
Definição útil (a base do que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função
é
quando a integral converge (normalmente precisamos de
grande o suficiente, aqui valerá
).\n
Mas, para calcular de forma mais prática, vamos usar uma propriedade muito útil em provas e que facilita bastante as contas: a relação entre multiplicação por potências de
no tempo e derivadas no domínio
.
Mas, para calcular
Passo 3
Propriedade que vamos usar (explique o porquê): para uma função
com transformada
vale, para inteiro
,
Raciocínio rápido (motivação): derivando sob o sinal de integral temos
Aplicando essa ideia repetidas vezes chega-se à fórmula geral acima. Portanto, para
temos
pois
.
Passo 4
Aplicamos a propriedade com
. Primeiro precisamos de
. A fórmula padrão (que também pode ser obtida integrando) é
Tomando
obtemos
Passo 5
Agora calculamos as derivadas necessárias de
.\n
Primeira derivada: aplicar a regra da cadeia:
Primeira derivada: aplicar a regra da cadeia:
Passo 6
Segunda derivada: derivamos
usando regra do produto.\n
Seja e
. Então
Seja
Calculamos cada termo:
Portanto
Simplificando o segundo termo:
Agora escrevemos ambos sobre o mesmo denominador
:
Somando com
obtemos
Fatorando
no numerador:
Passo 7
Conclusão usando a propriedade do Passo 3: como
temos o resultado final