Mostrando os detalhes do que fizer, encontre mathscr{L}(f) se f(t) for igual a:
t^{2} \operatorname{sen} 3 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathscr{L}(f) quando f(t)=t^{2}\operatorname{sen}3t.\n
Informações dadas:
f(t)=t^{2}\sin(3t).
Pergunta: calcular \mathscr{L}\{t^{2}\sin(3t)\} (ou seja, a transformada de Laplace dessa função) e apresentar o resultado final.

Passo 2

Definição útil (a base do que vamos usar): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
quando a integral converge (normalmente precisamos de \Re(s) grande o suficiente, aqui valerá \Re(s)>0).\n
Mas, para calcular \mathscr{L}\{t^{2}\sin(3t)\} de forma mais prática, vamos usar uma propriedade muito útil em provas e que facilita bastante as contas: a relação entre multiplicação por potências de t no tempo e derivadas no domínio s.

Passo 3

Propriedade que vamos usar (explique o porquê): para uma função f(t) com transformada F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s) vale, para inteiro n\ge1,
\mathscr{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s).
Raciocínio rápido (motivação): derivando sob o sinal de integral temos
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}f(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s).
Aplicando essa ideia repetidas vezes chega-se à fórmula geral acima. Portanto, para n=2 temos
\mathscr{L}\{t^{2}f(t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s),
pois (-1)^{2}=1.

Passo 4

Aplicamos a propriedade com f(t)=\sin(3t). Primeiro precisamos de F(s)=\mathscr{L}\{\sin(3t)\}(s). A fórmula padrão (que também pode ser obtida integrando) é
\mathscr{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Tomando a=3 obtemos
F(s)=\mathscr{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas necessárias de F(s)=3(s^{2}+9)^{-1}.\n
Primeira derivada: aplicar a regra da cadeia:
\frac{d}{ds}F(s)=3\cdot\frac{d}{ds}\big((s^{2}+9)^{-1}\big)=3\cdot(-1)(s^{2}+9)^{-2}\cdot 2s=-\frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}.

Passo 6

Segunda derivada: derivamos \displaystyle -6s(s^{2}+9)^{-2} usando regra do produto.\n
Seja g(s)=-6s e h(s)=(s^{2}+9)^{-2}. Então
\frac{d}{ds}\big(g(s)h(s)\big)=g'(s)h(s)+g(s)h'(s).
Calculamos cada termo:
g'(s)=-6,
h'(s)=-2(s^{2}+9)^{-3}\cdot 2s=-\frac{4s}{(s^{2}+9)^{3}}.
Portanto
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)= -6\cdot (s^{2}+9)^{-2} + (-6s)\cdot\left(-\frac{4s}{(s^{2}+9)^{3}}\right).
Simplificando o segundo termo:
(-6s)\cdot\left(-\frac{4s}{(s^{2}+9)^{3}}\right)=\frac{24s^{2}}{(s^{2}+9)^{3}}.
Agora escrevemos ambos sobre o mesmo denominador (s^{2}+9)^{3}:
-6\cdot (s^{2}+9)^{-2} = -\frac{6(s^{2}+9)}{(s^{2}+9)^{3}} = -\frac{6s^{2}+54}{(s^{2}+9)^{3}}.
Somando com \dfrac{24s^{2}}{(s^{2}+9)^{3}} obtemos
\frac{24s^{2}-(6s^{2}+54)}{(s^{2}+9)^{3}}=\frac{18s^{2}-54}{(s^{2}+9)^{3}}.
Fatorando 18 no numerador:
\frac{18(s^{2}-3)}{(s^{2}+9)^{3}}.

Passo 7

Conclusão usando a propriedade do Passo 3: como
\mathscr{L}\{t^{2}\sin(3t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s),
temos o resultado final
\mathscr{L}\{t^{2}\sin(3t)\}(s)=\frac{18\big(s^{2}-3\big)}{(s^{2}+9)^{3}},\qquad \Re(s)>0.

Resposta

\mathscr{L}\{t^{2}\sin(3t)\}(s)=\frac{18\big(s^{2}-3\big)}{(s^{2}+9)^{3}}

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