Metanol, \mathrm{CH}_{4} \mathrm{O}, e etanol, \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}, são dois álcoois voláteis a 25^{\circ} \mathrm{C}. Ambos podem ser usados como solvente ou combustível e muitas vezes a mistura dos dois é empregada em processos de extração.
a) Desenhe o perfil esperado para o comportamento da pressão de vapor do etanol ( P _{\text {etanol }} ) em função da sua fração em mol em uma mistura metanol:etanol.
b) Calcule a pressão de vapor, a 25^{\circ} \mathrm{C}, de uma mistura contendo, em volume, 10,00 % de metanol e 90,00 \% de etanol em 1,000 \mathrm{~L}.
c) Calcule a pressão de vapor de outra mistura de metanol e etanol quando são adicionados 100,0 \mathrm{~g} de sacarose, \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}, sabendo que fração em mol do metanol é 0,2000 e a quantidade total de substâncias ( \mathrm{n}_{\text {metanol }}+\mathrm{n}_{\text {etanol }}+\mathrm{n}_{\text {sacarose }} ), em mol, é igual a 1,0000 . Considere que a sacarose é um soluto não volátil, que se solubiliza completamente na mistura e que a solução se comporta idealmente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) desenhar o perfil esperado de P_{\text{etanol}} em função da fração molar de etanol numa mistura metanol+etanol a 25^\circ\mathrm{C};
  • (b) calcular a pressão de vapor, a 25^\circ\mathrm{C}, de uma mistura que contém, em volume, 10{,}00\% de metanol e 90{,}00\% de etanol em 1{,}000\\ \mathrm{L};
  • (c) calcular a pressão de vapor de outra mistura à mesma temperatura quando são adicionados 100{,}0\\ \mathrm{g} de sacarose, sabendo que a fração molar do metanol é 0{,}2000 e que a quantidade total de substâncias (metanol + etanol + sacarose) é 1{,}0000\\ \mathrm{mol}. A sacarose é soluto não volátil e a solução é ideal.
Dados e convenções que vou usar (valores usuais à 25^\circ\mathrm{C}, tomados como constantes do problema):
  • Pressões de vapor dos líquidos puros (Antoine / tabelas):
    • \;P^{*}_{\text{metanol}} = 124{,}6\\ \text{mmHg}.
    • \;P^{*}_{\text{etanol}} = 59{,}4\\ \text{mmHg}.
  • Densidades aproximadas (para converter volume em massa):
    • \rho_{\text{metanol}} = 0{,}7918\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
    • \rho_{\text{etanol}} = 0{,}7893\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
  • Massas molares:
    • \;M_{\text{metanol}} = 32{,}04\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • \;M_{\text{etanol}} = 46{,}07\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • \;M_{\text{sacarose}} = 342{,}30\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Conversão: 1\\ \text{mmHg} = 0{,}133322\\ \mathrm{kPa}.
Observação: estou assumindo solução ideal (Raoult válida) conforme enunciado implícito e usando os valores de P^* e densidades acima para efetuar os cálculos numéricos.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vou usar (aulas rápidas e necessárias):
  • Raoult: para uma mistura ideal, a pressão parcial de cada componente volátil i é proporcional à sua fração molar na fase líquida: P_i = x_i\,P^{*}_i,onde P_i é a pressão parcial no equilíbrio, x_i é a fração molar do componente i no líquido (ou seja x_i = \dfrac{n_i}{\sum_j n_j}, a soma inclui soluto não volátil), e P^{*}_i é a pressão de vapor do líquido puro à temperatura dada.
  • A pressão total da mistura é a soma das pressões parciais dos componentes voláteis: P_{\text{total}}=\sum_{\text{voláteis}} P_i.á
  • Nota sobre soluto não volátil: ao adicionar um soluto não volátil a um sistema ideal, as frações molares dos solventes voláteis diminuem (porque o denominador da fração molar inclui o soluto), e por Raoult isso reduz as pressões parciais e, portanto, a pressão total (efeito coligativo).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo nos itens (a), (b) e (c).

Passo 3

Item (a) — perfil esperado de P_{\text{etanol}} versus fração molar de etanol:
  • Pela lei de Raoult, a pressão parcial do etanol é P_{\text{etanol}}=x_{\text{etanol}}\,P^{*}_{\text{etanol}}.Isso é uma relação linear entre P_{\text{etanol}} e x_{\text{etanol}}.
  • Portanto o gráfico esperado de P_{\text{etanol}} em função de x_{\text{etanol}} é uma reta que passa pela origem ( x_{\text{etanol}}=0\Rightarrow P_{\text{etanol}}=0) e atinge P^{*}_{\text{etanol}} quando x_{\text{etanol}}=1. A inclinação da reta é P^{*}_{\text{etanol}}.
  • Em palavras mais visuais: é uma linha reta crescente; não há curvatura se a solução for ideal.

Passo 4

Item (b) — converter composição em volume para frações molares:
  • Temos 1{,}000\\ \mathrm{L} total com 10{,}00\% em volume de metanol e 90{,}00\% etanol.
  • Volumes individuais: V_{\text{metanol}} = 0{,}1000\\ \mathrm{L} = 100{,}0\\ \mathrm{mL}, \qquad V_{\text{etanol}} = 0{,}9000\\ \mathrm{L} = 900{,}0\\ \mathrm{mL}.
  • Massas (usando as densidades): m_{\text{metanol}} = V_{\text{metanol}}\cdot \rho_{\text{metanol}} = 100{,}0\cdot 0{,}7918 = 79{,}18\\ \mathrm{g}.
m_{\text{etanol}} = V_{\text{etanol}}\cdot \rho_{\text{etanol}} = 900{,}0\cdot 0{,}7893 = 710{,}37\\ \mathrm{g}.
  • Moles: n_{\text{metanol}}=\dfrac{79{,}18}{32{,}04}=2{,}4709\\ \mathrm{mol}.
n_{\text{etanol}}=\dfrac{710{,}37}{46{,}07}=15{,}4187\\ \mathrm{mol}.
  • Frações molares no líquido: n_{\text{total}} = n_{\text{metanol}}+n_{\text{etanol}}=2{,}4709+15{,}4187=17{,}8896\\ \mathrm{mol}.
x_{\text{etanol}}=\dfrac{15{,}4187}{17{,}8896}=0{,}86181,\qquad x_{\text{metanol}}=0{,}13819.

Passo 5

Item (b) — calcular pressões parciais e pressão total por Raoult:
  • Pressão parcial do etanol: P_{\text{etanol}}=x_{\text{etanol}}\,P^{*}_{\text{etanol}} =0{,}86181\cdot 59{,}4 = 51{,}20\\ \text{mmHg}.
  • Pressão parcial do metanol: P_{\text{metanol}}=x_{\text{metanol}}\,P^{*}_{\text{metanol}} =0{,}13819\cdot 124{,}6 = 17{,}21\\ \text{mmHg}.
  • Pressão total: P_{\text{total}} = 51{,}20 + 17{,}21 = 68{,}41\\ \text{mmHg}.
  • Converter para kPa: P_{\text{total}} = 68{,}41\\ \text{mmHg}\times 0{,}133322\\ \frac{\text{kPa}}{\text{mmHg}} = 9{,}116\\ \text{kPa}.

Passo 6

Comentário didático sobre (b): o procedimento típico na prova é
  1. transformar porcentagem em volume para volumes absolutos, 2) usar densidade para massa, 3) dividir por massa molar para obter moles, 4) calcular fração molar x_i, e 5) aplicar Raoult P_i=x_iP^*_i e somar. Faça sempre as contas com cuidado e mantenha unidades consistentes.

Passo 7

Item (c) — dados e interpretação:
  • Foi dado diretamente \;x_{\text{metanol}}=0{,}2000 e o total de moles \;n_{\text{total}}=1{,}0000\\ \mathrm{mol} (essa soma inclui sacarose).
  • Mols de sacarose adicionada: n_{\text{sacarose}}=\dfrac{100{,}0\\ \mathrm{g}}{342{,}30\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}=0{,}29221\\ \mathrm{mol}.
  • Como n_{\text{total}}=n_{\text{metanol}}+n_{\text{etanol}}+n_{\text{sacarose}} e n_{\text{metanol}}=x_{\text{metanol}}\cdot n_{\text{total}}=0{,}2000\cdot 1{,}0000=0{,}2000\\ \mathrm{mol}, então: n_{\text{etanol}}=1{,}0000-0{,}2000-0{,}29221=0{,}50779\\ \mathrm{mol}.
  • Fração molar do etanol no líquido (incluindo sacarose no denominador): x_{\text{etanol}}=\dfrac{n_{\text{etanol}}}{n_{\text{total}}}=\dfrac{0{,}50779}{1{,}0000}=0{,}50779.

Passo 8

Item (c) — calcular pressões com Raoult (sacarose não volátil):
  • Pressão parcial do metanol: P_{\text{metanol}}=x_{\text{metanol}}\,P^{*}_{\text{metanol}}=0{,}2000\cdot 124{,}6=24{,}92\\ \text{mmHg}.
  • Pressão parcial do etanol: P_{\text{etanol}}=x_{\text{etanol}}\,P^{*}_{\text{etanol}}=0{,}50779\cdot 59{,}4=30{,}16\\ \text{mmHg}.
  • Pressão total: P_{\text{total}}=24{,}92+30{,}16=55{,}08\\ \text{mmHg}.
  • Em kPa: P_{\text{total}}=55{,}08\\ \text{mmHg}\times 0{,}133322 = 7{,}343\\ \text{kPa}.
Comentário físico: comparar (b) e (c) mostra que a adição de sacarose (não volátil) diminui a pressão total em relação a uma mistura sem sacarose com mesma razão metanol:etanol entre os voláteis, porque o soluto reduz as frações molares das espécies voláteis.

Resposta

(a) P_{\text{etanol}}(x_{\text{etanol}}) é uma reta crescente: P_{\text{etanol}}=x_{\text{etanol}}\,P^{*}_{\text{etanol}}, portanto linha reta passando por (x_{\text{etanol}}=0,P_{\text{etanol}}=0) até (x_{\text{etanol}}=1,P_{\text{etanol}}=59{,}4\\ \text{mmHg}).
(b) P_{\text{total}}=68{,}41\\ \text{mmHg}=9{,}116\\ \text{kPa}.
(c) P_{\text{total}}=55{,}08\\ \text{mmHg}=7{,}343\\ \text{kPa}.

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