3ª Questão
Uma solução é formada pela dissolução de 2,000 \mathrm{~g} de um soluto não-volátil em 54,00 \mathrm{~g} de água. A pressão de vapor desta solução a 25^{\circ} \mathrm{C} é 23,88 Torr. Calcule a massa molar do soluto.
Considere que a solução se comporta idealmente.
Dados:
\mathrm{P}^{0} água =24,00 Torr a 25^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{P}^{\circ}{ }_{\text {etanol }}=59,00 Torr a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{M}( glicose )=180,0 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}
\mathrm{M}( etanol )=46,0 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}
\mathrm{M}( água )=18,01 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a massa molar do soluto não-volátil dissolvido.
Informações dadas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • massa do soluto: m_{\text{soluto}} = 2{,}000\\ \mathrm{g}.
  • massa do solvente (água): m_{\text{água}} = 54{,}00\\ \mathrm{g}á.
  • pressão de vapor da solução a 25^\circ\mathrm{C}: P_{\text{sol}} = 23{,}88\\ \mathrm{Torr}.
  • pressão de vapor da água pura a 25^\circ\mathrm{C}: P^0_{\text{água}} = 24{,}00\\ \mathrm{Torr}á.
  • massas molares fornecidas para referência:
    • \mathrm{M}(\text{glicose}) = 180{,}0\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (apenas referência),
    • \mathrm{M}(\text{etanol}) = 46{,}0\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (apenas referência),
    • \mathrm{M}(\text{água}) = 18{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}á.
  • A solução é ideal (isso nos permite usar a Lei de Raoult).

Passo 2

Entendendo a teoria que vamos usar (aula rápida, sem pânico):
  • Lei de Raoult para um solvente em solução ideal diz que a pressão de vapor do solvente na solução é proporcional à sua fração molar:
P_{\text{sol}} = x_{\text{água}}\;P^0_{\text{água}}.áá
Aqui:
  • P_{\text{sol}} é a pressão de vapor da solução (medida),
  • P^0_{\text{água}}á é a pressão de vapor do solvente puro (agua),
  • x_{\text{água}}á é a fração molar do solvente na solução, isto é
x_{\text{água}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{água}}+n_{\text{soluto}}},ááá
onde n_{\text{água}}á e n_{\text{soluto}} são as quantidades de matéria (moles) de água e do soluto, respectivamente.
  • Nosso objetivo será: usar Raoult para obter x_{\text{água}}á a partir das pressões e depois, conhecendo n_{\text{água}}á (a partir da massa), resolver para n_{\text{soluto}}. Finalmente calcular a massa molar do soluto por
\mathrm{M}_{\text{soluto}}=\frac{m_{\text{soluto}}}{n_{\text{soluto}}}.

Passo 3

Calcular a fração molar do solvente usando Raoult:
x_{\text{água}}=\frac{P_{\text{sol}}}{P^0_{\text{água}}}=\frac{23{,}88}{24{,}00}.áá
Fazendo a divisão:
x_{\text{água}}=0{,}995.á
Explicação rápida: isso diz que 99,5% das moléculas em número (moles) da solução são de água — faz sentido porque colocamos um soluto não-volátil em pequena quantidade.

Passo 4

Calcular o número de mols de água presente:
n_{\text{água}}=\frac{m_{\text{água}}}{\mathrm{M}(\text{água})}=\frac{54{,}00}{18{,}01}.ááá
Efetuando a divisão:
n_{\text{água}} \approx 2{,}998335\\ \text{mol}.á
Explicação: aqui usamos a definição de mol: massa dividida pela massa molar da água.

Passo 5

Relacionar a fração molar com n_{\text{soluto}} e isolar n_{\text{soluto}}:
x_{\text{água}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{água}}+n_{\text{soluto}}} \quad\Rightarrow\quad n_{\text{água}}+n_{\text{soluto}}=\frac{n_{\text{água}}}{x_{\text{água}}}áááááá
\Rightarrow\quad n_{\text{soluto}}=\frac{n_{\text{água}}}{x_{\text{água}}}-n_{\text{água}}=n_{\text{água}}\left(\frac{1}{x_{\text{água}}}-1\right).ááááá
Também pode-se escrever (mais direto)
n_{\text{soluto}}=n_{\text{água}}\cdot\frac{1-x_{\text{água}}}{x_{\text{água}}}.ááá

Passo 6

Calcular numericamente n_{\text{soluto}}:
  • Primeiro 1-x_{\text{água}}=1-0{,}995=0{,}005á.
  • Então
n_{\text{soluto}}=2{,}998335\cdot\frac{0{,}005}{0{,}995}.
Fazendo a conta:
n_{\text{soluto}}\approx 0{,}0150670\\ \text{mol}.
Comentário: é um número pequeno de mols — típico quando se dissolve poucos gramas de uma substância pesada.

Passo 7

Calcular a massa molar do soluto:
\mathrm{M}_{\text{soluto}}=\frac{m_{\text{soluto}}}{n_{\text{soluto}}}=\frac{2{,}000}{0{,}0150670}.
Fazendo a divisão:
\mathrm{M}_{\text{soluto}}\approx 132{,}7\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Explicação: massa molar é quantos gramas corresponde a um mol do soluto; dividimos a massa dada pelo número de mols que calculamos.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida:
  • Resultado faz sentido numericamente e tem ordem de grandeza compatível com moléculas orgânicas médias.
  • Arredondei para três algarismos significativos coerentes com os dados (os dados de pressão e massa tinham tipicamente 4 algarismos, mas dado experimental e apresentação usual em química, 132{,}7\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} é uma representação adequada).

Resposta

\mathrm{M}_{\text{soluto}}=132{,}7\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}

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