Para o método da bissecção, mostre que \left|x_{k}-\xi\right| \leq \frac{b-a}{2^{k}}.
(b) No MPF, mostre que \left|\xi-x_{k}\right| \leq \frac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
(c) Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para f(x)=x^{2}-2 com x_{0}=1.5.
Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para f(x)=x^{2}-2 com x_{0}=1.5.

Passo 1

Você me pediu três coisas separadas; vou listar exatamente o que cada item pede e os dados fornecidos:
  1. (a) “Para o método da bissecção, mostre que \left|x_{k}-\xi\right| \leq \dfrac{b-a}{2^{k}}.”
    Dados: intervalo inicial [a,b] com uma raiz \xi\in[a,b]. O método da bissecção gera, a cada iteração, um ponto x_k (por exemplo, o ponto escolhido na k-ésima iteração — tipicamente o ponto médio do subintervalo atual). Queremos provar a desigualdade pedida.
  2. (b) “No MPF, mostre que \left|\xi-x_{k}\right| \leq \dfrac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.”
    Dados: MPF = método do ponto fixo. Suponha uma função g com ponto fixo \xi tal que g(\xi)=\xi e existe constante M com 0\le M<1 tal que \left|g(x)-g(y)\right|\le M\left|x-y\right| para os pontos considerados. A sequência é x_{n+1}=g(x_n). Queremos deduzir a desigualdade indicada.
  3. (c) “Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para f(x)=x^{2}-2 com x_{0}=1.5.”
    Dados: f(x)=x^2-2, raiz exata \xi=\sqrt{2}, iteração de Newton com x_0=1{,}5. Queremos uma estimativa numérica de \left|x_{5}-\xi\right|.
A partir daqui eu vou resolver passo a passo cada item, ensinando os conceitos usados ao longo do caminho.

Passo 2

(a) Prova do fato sobre a bissecção — ideia-chave e propriedade básica.
Explicação didática: no método da bissecção começamos com o intervalo [a,b] contendo a raiz \xi. A cada iteração dividimos o intervalo atual ao meio e escolhemos o subintervalo (esquerdo ou direito) que contém \xi. Assim, depois de uma iteração o comprimento do intervalo que sabemos conter \xi é \dfrac{b-a}{2}; depois de duas iterações é \dfrac{b-a}{2^{2}}; e assim por diante. Vou mostrar isso formalmente por indução, porque é a forma mais direta e segura de justificar a redução do comprimento do intervalo a cada etapa.

Passo 3

(a) Prova formal por indução da redução do comprimento e da desigualdade pedida.
  1. Defina os intervalos resultantes: após k iterações existe um subintervalo [a_k,b_k] tal que \xi\in[a_k,b_k] e a_0=a,\;b_0=b.
  2. Base k=0: b_0-a_0=b-a=\dfrac{b-a}{2^{0}}. Logo a propriedade vale para k=0.
  3. Passo indutivo: suponha que após k iterações temos b_k-a_k=\dfrac{b-a}{2^{k}}. Na iteração seguinte dividimos [a_k,b_k] ao meio e escolhemos o subintervalo [a_{k+1},b_{k+1}] de comprimento exatamente metade, ou seja,
b_{k+1}-a_{k+1}=\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{b-a}{2^{k}}=\frac{b-a}{2^{k+1}}.
Isso completa a indução: para todo k temos b_k-a_k=\dfrac{b-a}{2^{k}}.
4. Agora, nota importante sobre x_k: o ponto x_k produzido na k-ésima iteração pertence ao subintervalo [a_k,b_k] (por exemplo, se tomamos o ponto médio então x_k é o centro desse subintervalo; em qualquer caso x_k\in[a_k,b_k]). Portanto a distância da raiz \xi ao ponto x_k é no máximo o comprimento do subintervalo:
\left|x_k-\xi\right|\le b_k-a_k=\frac{b-a}{2^{k}}.
Observação: se x_k for o ponto médio do subintervalo, obtemos uma desigualdade ainda mais forte \left|x_k-\xi\right|\le\dfrac{b-a}{2^{k+1}}, mas a desigualdade pedida \left|x_k-\xi\right|\le\dfrac{b-a}{2^{k}} é verdadeira e segue do fato x_k\in[a_k,b_k].

Passo 4

(b) No método do ponto fixo (MPF) — explicação das hipóteses e da técnica usada.
Vou lembrar passo a passo: suponha g é uma contração com constante de Lipschitz M (isto é, 0\le M<1 e \left|g(x)-g(y)\right|\le M\left|x-y\right| para x,y no domínio considerado). A sequência do ponto fixo é definida por
x_{n+1}=g(x_n).
Sob essas hipóteses a sequência converge para o ponto fixo \xi (isso é um teorema padrão). Para relacionar o erro \left|\xi-x_k\right| com a diferença entre iterações consecutivas \left|x_k-x_{k-1}\right| vamos usar a representação telescópica da diferença \xi-x_k como soma das diferenças entre iterações subsequentes e controlar cada termo com a constante M. A ideia é: como os incrementos \left|x_{n+1}-x_n\right| decrescem geometricamente (cada um é no máximo M vezes o anterior), podemos somá-los como uma progressão geométrica e obter a desigualdade desejada.

Passo 5

(b) Prova detalhada usando série geométrica e propriedade de contração.
  1. Observe que
\xi-x_k = \lim_{N\to\infty} x_{N}-x_k = \sum_{j=k}^{\infty} (x_{j+1}-x_j),
porque a sequência (x_n) converge para \xi e, portanto, o “saldo” de x_k até o limite é a soma telescópica das diferenças. (Telescópica: x_{N}-x_k=\sum_{j=k}^{N-1}(x_{j+1}-x_j) e ao passar N\to\infty obtemos o limite à esquerda.)
2. Tomando valor absoluto e usando a desigualdade triangular:
\left|\xi-x_k\right|\le \sum_{j=k}^{\infty}\left|x_{j+1}-x_j\right|.
  1. Agora controle cada termo da soma usando a propriedade de contração: para todo n,
\left|x_{n+1}-x_n\right|=\left|g(x_n)-g(x_{n-1})\right|\le M\left|x_n-x_{n-1}\right|.
Por indução obtemos, para j\ge 0,
\left|x_{k+j}-x_{k+j-1}\right|\le M^{\,j}\left|x_k-x_{k-1}\right|.
  1. Substituindo isso na soma:
\left|\xi-x_k\right|\le \sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{k+j}-x_{k+j-1}\right| \le \sum_{j=1}^{\infty} M^{\,j}\left|x_k-x_{k-1}\right| = \left|x_k-x_{k-1}\right|\sum_{j=1}^{\infty} M^{\,j}.
  1. A soma é uma série geométrica convergente porque 0\le M<1; lembrando a fórmula da soma:
\sum_{j=1}^{\infty} M^{\,j}=\frac{M}{1-M}.
  1. Concluímos a desigualdade desejada:
\left|\xi-x_k\right|\le \frac{M}{1-M}\left|x_k-x_{k-1}\right|.
Dica prática para a prova: a chave foi escrever \xi-x_k como soma telescópica das diferenças e usar que essas diferenças diminuem geometricamente por causa da contração.

Passo 6

(c) Método de Newton para f(x)=x^{2}-2 — fórmula da iteração e propriedades locais.
  1. Escrevo a fórmula geral de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  1. Para f(x)=x^{2}-2 temos f'(x)=2x e f''(x)=2. Assim a iteração fica
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{2}-2}{2x_n}=\frac{x_n+\dfrac{2}{x_n}}{2},
isto é, x_{n+1} é a média aritmética entre x_n e 2/x_n. A raiz exata é \xi=\sqrt{2}.
3. O método de Newton convergência localmente com ordem 2 (quadrática). Uma forma prática de estimar o erro é usar a aproximação de segunda ordem:
e_{n+1}:=x_{n+1}-\xi \approx C\, e_n^{2},
onde
C=\frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}.
Para nosso f temos f''(\xi)=2 e f'(\xi)=2\xi, logo
C=\frac{2}{2\cdot 2\xi}=\frac{1}{2\xi}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0{,}3535533905932738.
Vou usar essa relação quadrática para estimar os erros sucessivos; também vou calcular explicitamente as primeiras iterações exatas (ou racionais) para obter um ponto de partida preciso.

Passo 7

(c) Cálculo explícito das primeiras iterações e dos erros iniciais.
  1. x_0=1{,}5=\dfrac{3}{2}. A raiz \xi=\sqrt{2}\approx 1{,}4142135623730950488. O erro inicial é
e_0=x_0-\xi=1{,}5-\sqrt{2}\approx 0{,}08578643762690495.
  1. Iteração 1: usando a fórmula exata racional,
x_1=\frac{x_0+\dfrac{2}{x_0}}{2}=\frac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}}{2}=\frac{\dfrac{17}{6}}{2}=\frac{17}{12}\approx 1{,}4166666666666667.
Logo
e_1=x_1-\sqrt{2}=\frac{17}{12}-\sqrt{2}\approx 0{,}0024531042935716.
  1. Iteração 2: cálculo exato (racional) dá
x_2=\frac{17/12+\dfrac{2}{17/12}}{2}=\frac{17/12+\;24/17}{2}=\frac{577}{408}\approx 1{,}4142156862745098,
então
e_2=x_2-\sqrt{2}=\frac{577}{408}-\sqrt{2}\approx 0{,}0000021239014149\approx 2{,}1239\times 10^{-6}.
Esses valores mostram a queda rápida do erro: de 8{,}6\times 10^{-2} para 2{,}45\times 10^{-3} para 2{,}12\times 10^{-6}. Agora uso a relação quadrática com C=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} para estimar os erros seguintes.

Passo 8

(c) Estimativa dos erros seguintes via relação quadrática.
Usando e_{n+1}\approx C e_n^{2} com C\approx 0{,}3535533905932738:
  1. Estimando e_3:
e_3\approx C\,e_2^{2}\approx 0{,}3535533905932738\cdot(2{,}1239\times 10^{-6})^{2}.
Calcule passo a passo:
(2{,}1239\times 10^{-6})^{2}\approx 4{,}509\times 10^{-12},
então
e_3\approx 0{,}3535533906\cdot 4{,}509\times 10^{-12}\approx 1{,}594\times 10^{-12}.
  1. Estimando e_4:
e_4\approx C\,e_3^{2}\approx 0{,}3535533906\cdot(1{,}594\times 10^{-12})^{2}.
(1{,}594\times 10^{-12})^{2}\approx 2{,}540\times 10^{-24},
logo
e_4\approx 0{,}3535533906\cdot 2{,}540\times 10^{-24}\approx 8{,}98\times 10^{-25}.
(Arredondei para duas ou três casas significativas por clareza.)
3. Estimando e_5:
e_5\approx C\,e_4^{2}\approx 0{,}3535533906\cdot(8{,}98\times 10^{-25})^{2}.
(8{,}98\times 10^{-25})^{2}\approx 8{,}06\times 10^{-49},
portanto
e_5\approx 0{,}3535533906\cdot 8{,}06\times 10^{-49}\approx 2{,}85\times 10^{-49}.

Passo 9

(c) Interpretação e conclusão numérica.
O método de Newton com x_0=1{,}5 converge extremamente rápido para \sqrt{2}. A estimativa acima nos dá
\left|x_{5}-\sqrt{2}\right|\approx 2{,}9\times 10^{-49}.
Isso é essencialmente zero para qualquer cálculo prático — a convergência é quadrática e, a partir de um ponto razoável, os erros desaparecem em poucas iterações.

Resposta

(a) \left|x_{k}-\xi\right| \leq \dfrac{b-a}{2^{k}}.\n(b) \left|\xi-x_{k}\right| \leq \dfrac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.\n(c) \left|x_{5}-\sqrt{2}\right|\approx 2{,}9\times 10^{-49}.

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