Para o método da bissecção, mostre que \left|x_{k}-\xi\right| \leq \frac{b-a}{2^{k}}.
(b) No MPF, mostre que \left|\xi-x_{k}\right| \leq \frac{M}{1-M}\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
(c) Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para f(x)=x^{2}-2 com x_{0}=1.5.
Para o método da bissecção, mostre que \left|x_{k}-\xi\right| \leq \frac{b-a}{2^{k}}.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar a desigualdade
\left|x_{k}-\xi\right| \leq \frac{b-a}{2^{k}}.
Informações dadas (essenciais e usadas na demonstração):
  • Temos um intervalo inicial (a,b) com f(a)\,f(b)<0, logo existe uma raiz \xi em [a,b].
  • O método da bissecção constrói sequência de intervalos [a_{0},b_{0}]=[a,b], [a_{1},b_{1}],\dots,[a_{k},b_{k}],\dots tais que cada [a_{k+1},b_{k+1}] tem metade do comprimento de [a_{k},b_{k}].
  • Em cada iteração definimos x_{k} como o ponto médio do intervalo [a_{k},b_{k}], ou seja,
x_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2},
e a raiz \xi permanece dentro de cada intervalo: \xi\in[a_{k},b_{k}] para todo k.
Nada mais será assumido neste passo.

Passo 2

Propriedade chave do método (largura do intervalo): vou mostrar que o comprimento do k-ésimo intervalo satisfaz
b_{k}-a_{k}=\frac{b-a}{2^{k}}.
Prova por indução:
  • Para k=0 temos [a_{0},b_{0}]=[a,b], logo b_{0}-a_{0}=b-a, que é \dfrac{b-a}{2^{0}}. A base está ok.
  • Suponha válida para k. No passo k+1 o método escolhe o subintervalo de [a_{k},b_{k}] que contém a raiz; esse subintervalo tem exatamente metade do comprimento de [a_{k},b_{k}]. Assim
b_{k+1}-a_{k+1}=\frac{b_{k}-a_{k}}{2}.
Usando a hipótese de indução b_{k}-a_{k}=\dfrac{b-a}{2^{k}} obtemos
b_{k+1}-a_{k+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{b-a}{2^{k}}=\frac{b-a}{2^{k+1}}.
Logo a fórmula vale para todo k.

Passo 3

Ligando a largura do intervalo com o erro: como \xi\in[a_{k},b_{k}] e x_{k} é o ponto médio de [a_{k},b_{k}], a distância entre x_{k} e \xi é no máximo o raio do intervalo (metade do comprimento). Assim obtemos a desigualdade mais forte
\left|x_{k}-\xi\right| \le \frac{b_{k}-a_{k}}{2}.
Agora substituo a expressão do Passo 2 para b_{k}-a_{k}.

Passo 4

Substituição e conclusão: do Passo 2 temos b_{k}-a_{k}=\dfrac{b-a}{2^{k}}. Substituindo em \left|x_{k}-\xi\right| \le \dfrac{b_{k}-a_{k}}{2} obtemos a forma imediata mais precisa
\left|x_{k}-\xi\right| \le \frac{b-a}{2^{k+1}}.
Como \dfrac{b-a}{2^{k+1}}\le \dfrac{b-a}{2^{k}} para todo k\ge0, isso implica a desigualdade pedida no enunciado:
\left|x_{k}-\xi\right| \le \frac{b-a}{2^{k}}.

Passo 5

Comentário prático (para a prova): a versão que você deve lembrar é a mais forte
\left|x_{k}-\xi\right| \le \frac{b-a}{2^{k+1}},
porque ela dá o raio do intervalo. A desigualdade pedida no enunciado é apenas uma forma mais simples (mais fraca) que segue imediatamente. Para controlar o número de iterações necessárias para um erro \varepsilon, basta resolver
\frac{b-a}{2^{k+1}}\le \varepsilon\quad\Longrightarrow\quad k\ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1,
ou usar a forma arredondada
k \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.

Resposta

\left|x_{k}-\xi\right| \leq \dfrac{b-a}{2^{k}}

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