Para o método da bissecção, mostre que
.
(b) No MPF, mostre que
.
(c) Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para
com
.
Para o método da bissecção, mostre que
.
(b) No MPF, mostre que
(c) Estime o erro após 5 iterações do método de Newton para
Para o método da bissecção, mostre que
Passo 1
O que o problema pede: mostrar a desigualdade
Informações dadas (essenciais e usadas na demonstração):
- Temos um intervalo inicial
com , logo existe uma raiz em . - O método da bissecção constrói sequência de intervalos
, tais que cada tem metade do comprimento de . - Em cada iteração definimos
como o ponto médio do intervalo , ou seja,
e a raiz
permanece dentro de cada intervalo:
para todo
.
Nada mais será assumido neste passo.
Nada mais será assumido neste passo.
Passo 2
Propriedade chave do método (largura do intervalo): vou mostrar que o comprimento do
-ésimo intervalo satisfaz
Prova por indução:
- Para
temos , logo , que é . A base está ok. - Suponha válida para
. No passo o método escolhe o subintervalo de que contém a raiz; esse subintervalo tem exatamente metade do comprimento de . Assim
Usando a hipótese de indução
obtemos
Logo a fórmula vale para todo
.
Passo 3
Ligando a largura do intervalo com o erro: como
e
é o ponto médio de
, a distância entre
e
é no máximo o raio do intervalo (metade do comprimento). Assim obtemos a desigualdade mais forte
Agora substituo a expressão do Passo 2 para
.
Passo 4
Substituição e conclusão: do Passo 2 temos
. Substituindo em
obtemos a forma imediata mais precisa
Como
para todo
, isso implica a desigualdade pedida no enunciado:
Passo 5
Comentário prático (para a prova): a versão que você deve lembrar é a mais forte
porque ela dá o raio do intervalo. A desigualdade pedida no enunciado é apenas uma forma mais simples (mais fraca) que segue imediatamente. Para controlar o número de iterações necessárias para um erro
, basta resolver
ou usar a forma arredondada