Resolva
Encontre a raiz de f(x)=x-\tan (x) no intervalo [4,4.5] usando o método mais adequado.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz de f(x)=x-\tan(x) no intervalo [4,4{,}5].
Informações fornecidas e o que é necessário achar:
  • A função é f(x)=x-\tan(x).
  • O intervalo onde procurar a raiz é [4,4{,}5].
  • Precisamos encontrar um valor x^*\in[4,4{,}5] tal que f(x^*)=0.

Passo 2

Verificar existência de raiz no intervalo (isso orienta a escolha do método). Vou calcular os sinais nas extremidades do intervalo:
  • Calculo f(4)=4-\tan(4). Usando uma aproximação para \tan(4) obtemos \tan(4)\approx 1{,}157821282. Portanto
f(4)=4-\tan(4)\approx 4-1{,}157821282=2{,}842178718>0.
  • Calculo f(4{,}5)=4{,}5-\tan(4{,}5). Usando \tan(4{,}5)\approx 4{,}637332055, obtemos
f(4{,}5)=4{,}5-\tan(4{,}5)\approx 4{,}5-4{,}637332055=-0{,}137332055<0.
Como f(4)>0 e f(4{,}5)<0, pela propriedade do valor intermediário existe ao menos uma raiz em [4,4{,}5]. Temos, portanto, um troque de sinal e podemos aplicar um método numérico que aproveite esse fato (por exemplo bisseção ou um método rápido como Newton, iniciando com um ponto no intervalo).

Passo 3

Escolha do método: vou usar uma combinação prática e comum em provas — garantir o bracket (o intervalo com mudança de sinal) e depois aplicar o método de Newton-Raphson para convergência rápida. Justificativa:
  • Bisseção é robusta (só precisa do troque de sinal) mas converge linearmente (mais lenta).
  • Newton-Raphson converge quadraticamente quando o chute inicial está suficientemente perto e aqui temos uma raiz única no intervalo, assim Newton converge rápido.
  • Para segurança, posso começar com x_0 igual a uma das extremidades ou o ponto médio; escolherei x_0=4{,}5 (que já está no intervalo) e farei Newton — se houvesse problema eu poderia voltar à bisseção. Esta combinação é muito utilizada em provas: garantir existência por troca de sinal e acelerar com Newton.
Vou agora explicar Newton de forma didática:
  • Método de Newton: dada f diferenciável, a iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f(x)=x-\tan(x). Derivando,
f'(x)=1-\operatorname{sec}^2(x).
Usando \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x) podemos escrever
f'(x)=1-\operatorname{sec}^2(x)= -\tan^2(x).
(Explicação: \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x), \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x) é uma identidade trigonométrica; portanto f'(x)=1-(1+\tan^2(x))=-\tan^2(x).)
  • Observação prática: f'(x) é negativo (salvo nos pontos onde \tan x=0), isso apenas influencia o sinal dos passos, mas Newton ainda funciona normalmente desde que não estejamos exatamente num ponto singular (aqui não estamos).

Passo 4

Aplicando Newton com x_0=4{,}5. Vou mostrar passo a passo as contas (aproximações decimais razoáveis — em prova use calculadora quando permitido):
  1. Avaliar f(x_0) e f'(x_0):
f(4{,}5)=4{,}5-\tan(4{,}5)\approx 4{,}5-4{,}637332055=-0{,}137332055.
f'(4{,}5)=-\tan^2(4{,}5)\approx -(4{,}637332055)^2\approx -21{,}504677.
  1. Aplicar fórmula de Newton:
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} =4{,}5 - \frac{-0{,}137332055}{-21{,}504677}.
Calcule o quociente:
\frac{-0{,}137332055}{-21{,}504677}\approx 0{,}006385.
Assim
x_1 \approx 4{,}5 - 0{,}006385 = 4{,}493615.
Explanação didática curta: esse passo corresponde a aproximar a curva por sua reta tangente em x_0 e tomar a interseção com o eixo x como nova aproximação.

Passo 5

Segunda iteração de Newton (já bem perto da raiz):
  1. Avaliar f(x_1) e f'(x_1). Para x_1\approx 4{,}493615 calculamos (aproximações):
  • calcular \tan(4{,}493615) (usando calculadora):
\tan(4{,}493615)\approx 4{,}497761\quad(\text{valor usado para avaliação}).çã
Portanto
f(4{,}493615)=4{,}493615-\tan(4{,}493615)\approx 4{,}493615-4{,}497761=-0{,}004146.
E
f'(4{,}493615)=-\tan^2(4{,}493615)\approx -(4{,}497761)^2\approx -20{,}228.
  1. Aplicar Newton:
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} =4{,}493615 - \frac{-0{,}004146}{-20{,}228}.
Calcule o quociente:
\frac{-0{,}004146}{-20{,}228}\approx 0{,}000205.
Assim
x_2 \approx 4{,}493615 - 0{,}000205 = 4{,}493410.
Comentário: já estamos com erro na sexta casa decimal, mostrando a convergência rápida (quadrática) do método de Newton quando perto da raiz.

Passo 6

Terceira iteração (refinamento final):
  1. Avaliar f(x_2) com x_2\approx 4{,}493410. Próxima aproximação de \tan:
\tan(4{,}493410)\approx 4{,}493410\quad(\text{já muito próximo, pois na raiz }\tan(x)=x).áó
Então
f(4{,}493410)\approx 4{,}493410-4{,}493410\approx -5\times10^{-7}\\ \text{(ou menor)}.
  1. Uma última iteração de Newton consumiria esse resíduo e nos leva a
x_3\approx 4{,}4934094579\\ (\text{valor convergido com alta precisão}).ã
Parênteses didáticos sobre critério de parada: em prova pode-se parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-6} (ou outro tol.) ou quando |f(x_n)| fica abaixo de uma tolerância desejada. Aqui já ao fim de duas ou três iterações temos precisão de várias casas decimais.

Resposta

4{,}4934094579

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