Resolva
Encontre a raiz de
no intervalo
usando o método mais adequado.
Encontre a raiz de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz de
no intervalo
.
Informações fornecidas e o que é necessário achar:
Informações fornecidas e o que é necessário achar:
- A função é
. - O intervalo onde procurar a raiz é
. - Precisamos encontrar um valor
tal que .
Passo 2
Verificar existência de raiz no intervalo (isso orienta a escolha do método). Vou calcular os sinais nas extremidades do intervalo:
- Calculo
. Usando uma aproximação para obtemos . Portanto
- Calculo
. Usando , obtemos
Como
e
, pela propriedade do valor intermediário existe ao menos uma raiz em
. Temos, portanto, um troque de sinal e podemos aplicar um método numérico que aproveite esse fato (por exemplo bisseção ou um método rápido como Newton, iniciando com um ponto no intervalo).
Passo 3
Escolha do método: vou usar uma combinação prática e comum em provas — garantir o bracket (o intervalo com mudança de sinal) e depois aplicar o método de Newton-Raphson para convergência rápida. Justificativa:
- Bisseção é robusta (só precisa do troque de sinal) mas converge linearmente (mais lenta).
- Newton-Raphson converge quadraticamente quando o chute inicial está suficientemente perto e aqui temos uma raiz única no intervalo, assim Newton converge rápido.
- Para segurança, posso começar com
igual a uma das extremidades ou o ponto médio; escolherei (que já está no intervalo) e farei Newton — se houvesse problema eu poderia voltar à bisseção. Esta combinação é muito utilizada em provas: garantir existência por troca de sinal e acelerar com Newton.
Vou agora explicar Newton de forma didática:
- Método de Newton: dada
diferenciável, a iteração é
- Aqui
. Derivando,
Usando
podemos escrever
(Explicação:
,
é uma identidade trigonométrica; portanto
.)
- Observação prática:
é negativo (salvo nos pontos onde ), isso apenas influencia o sinal dos passos, mas Newton ainda funciona normalmente desde que não estejamos exatamente num ponto singular (aqui não estamos).
Passo 4
Aplicando Newton com
. Vou mostrar passo a passo as contas (aproximações decimais razoáveis — em prova use calculadora quando permitido):
- Avaliar
e :
- Aplicar fórmula de Newton:
Calcule o quociente:
Assim
Explanação didática curta: esse passo corresponde a aproximar a curva por sua reta tangente em
e tomar a interseção com o eixo
como nova aproximação.
Passo 5
Segunda iteração de Newton (já bem perto da raiz):
- Avaliar
e . Para calculamos (aproximações):
- calcular
(usando calculadora):
Portanto
E
- Aplicar Newton:
Calcule o quociente:
Assim
Comentário: já estamos com erro na sexta casa decimal, mostrando a convergência rápida (quadrática) do método de Newton quando perto da raiz.
Passo 6
Terceira iteração (refinamento final):
- Avaliar
com . Próxima aproximação de :
Então
- Uma última iteração de Newton consumiria esse resíduo e nos leva a
Parênteses didáticos sobre critério de parada: em prova pode-se parar quando
(ou outro tol.) ou quando
fica abaixo de uma tolerância desejada. Aqui já ao fim de duas ou três iterações temos precisão de várias casas decimais.
Resposta
4{,}4934094579