Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime-5 y=x^2 e^x-x e^5 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 5y = x^2 e^x ;-; x e^5x,
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso vamos encontrar (i) a solução geral da homogênea e (ii) uma solução particular da não homogênea por decomposição dos termos do lado direito.

Passo 2

A parte homogênea é
y' - 5y = 0
A equação característica é r - 5 = 0, logo r=5. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C,e^5x,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Para o termo x^2e^x do lado direito, como e^x não coincide com e^5x, fazemos o palpite
yp1(x) = (Ax^2 + Bx + C),e^x
Calculamos a derivada:
yp1' = l(2Ax + Br)e^x + (Ax^2+Bx+C)e^x = l(2Ax + B + Ax^2+Bx+Cr)e^x
Substituindo em y' -5y:
yp1' - 5yp1 = l(2Ax + B + Ax^2+Bx+C -5(Ax^2+Bx+C)r)e^x = l(-4A x^2 + (2A-4B)x + (B-4C)r)e^x
Queremos isso igual a x^2e^x, isto é
-4A x^2 + (2A-4B)x + (B-4C) ;=; 1cdot x^2 + 0cdot x + 0
Igualando coeficientes:
-4A = 1, 2A-4B=0, B-4C=0
de onde
A = -tfrac14, B = -tfrac18, C = -tfrac132
Logo
yp1(x) = l(-tfrac14 x^2 - tfrac18 x - tfrac132r)e^x

Passo 4

Para o termo -,x e^5x, há ressonância com a raiz r=5 da homogênea. Assim usamos o palpite
yp2(x) = x,(Dx + E),e^5x = (D x^2 + E x),e^5x
Calculamos
yp2' = (2D x + E)e^5x +5(Dx^2+Ex)e^5x = l(2D x + E +5D x^2 +5E xr)e^5x
Então
yp2' -5yp2 = l(2D x + E +5D x^2 +5E x -5(Dx^2+Ex)r)e^5x = (2D x + E),e^5x
Queremos isso igual a -,x e^5x, ou seja
2D x + E = -,x + 0
Logo
2D = -1, E=0 Longrightarrow D = -tfrac12,;E=0
Assim
yp2(x) = -tfrac12,x^2,e^5x

Passo 5

A solução particular total é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = l(-tfrac14 x^2 - tfrac18 x - tfrac132r)e^x ;-;tfrac12,x^2,e^5x
Somando com a homogênea, a solução geral é
y(x) = C,e^5x ;+;l(-tfrac14 x^2 - tfrac18 x - tfrac132r)e^x ;-;tfrac12,x^2,e^5x

Resposta

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