Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso vamos encontrar (i) a solução geral da homogênea e (ii) uma solução particular da não homogênea por decomposição dos termos do lado direito.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
, logo
. Logo a solução homogênea é
onde
é constante arbitrária.
Passo 3
Para o termo
do lado direito, como
não coincide com
, fazemos o palpite
Calculamos a derivada:
Substituindo em
:
Queremos isso igual a
, isto é
Igualando coeficientes:
de onde
Logo
Passo 4
Para o termo
, há ressonância com a raiz
da homogênea. Assim usamos o palpite
Calculamos
Então
Queremos isso igual a
, ou seja
Logo
Assim
Passo 5
A solução particular total é
Somando com a homogênea, a solução geral é