1. Determine a equação da reta que tangencia o gráfico de f(x)=e^x+e^-x2, no ponto em que essa curva intercepta a curva g(x)=e^x-e^-x2+2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=e^x+e^-x2
no ponto em que essa curva intersecta
g(x)=e^x-e^-x2+2
Para isso vamos:
  1. determinar x tal que f(x)=g(x);
  2. calcular y=f(x) nesse ponto;
  3. obter a derivada f'(x) e avaliá-la em x;
  4. usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Igualando f(x) e g(x) temos
e^x+e^-x2 ;=;e^x-e^-x2+2
Multiplicando por 2 e reorganizando:
e^x+e^-x=e^x-e^-x+4 Longrightarrow 2e^-x=4 Longrightarrow e^-x=2 Longrightarrow x=-ln2

Passo 3

O valor de y na interseção é
y=f(-ln2) =e^-ln2+e^ln22 =12+22 =5/22 =54

Passo 4

A derivada de f é
f'(x)=ddxl(tfrace^x+e^-x2r) =e^x - e^-x2
Em x=-ln2 fica
f'(-ln2) =12-22 =-3/22 =-34

Passo 5

A reta tangente em l(x0,y0r)=l(-ln2,tfrac54r) com coeficiente angular m=-tfrac34 é
y - 54 =-34l(x + ln2r),
ou seja
y=-34x ;-;34ln2;+;54

Resposta

boxedy=-34x-34ln2+54

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