Verifique que Im(f) subset D(g), determine o domínio maximal de g circ f e dê a regra de h=g circ f :
g(x)=3 x+1 e f(x)=2+x^2,

Passo 1

O enunciado pede para verificar que Im(f)subset D(g), determinar o domínio maximal de gcirc f e encontrar a expressão de h=gcirc f. O conteúdo é composição de funções reais, para o qual precisamos usar a definição de imagem, domínio e a regra de composição.

Passo 2

Como f(x)=2+x^2, sabemos que x^2>=0 para todo xinR. Logo
f(x)>=2,
ou seja,
Im(f)=[2,infty)

Passo 3

A função g(x)=3x+1 é um polinômio de grau 1, cujo domínio é
D(g)=R
Como Im(f)=[2,infty)subsetR=D(g), a composição gcirc f está bem definida para todo xin D(f). Como f é polinomial, D(f)=R. Portanto o domínio maximal de gcirc f é
D(gcirc f)=R

Passo 4

Para obter a regra de h=gcirc f aplicamos g em f(x):
h(x)=gl(f(x)r)=3l(2+x^2r)+1=3x^2+6+1=3x^2+7

Resposta

O domínio maximal de gcirc f é R e
h(x)=3x^2+7

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