Resolver as equações diferenciais de terceira ordem
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as soluções da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+4y^{\prime}=0.
Informações que temos: é uma equação de ordem 3 (aparece y^{\prime\prime\prime}), não há condições iniciais dadas, e o objetivo é obter a solução geral y(x) com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo exponencial porque funções exponenciais transformam derivadas em múltiplos delas mesmas — isso simplifica a equação para uma equação algébrica. Proponho
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possível raiz). Calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx},\qquad y'''(x)=r^{3} e^{rx}.
Substituindo na equação dada e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^{3}-5r^{2}+4r=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação algébrica
r^{3}-5r^{2}+4r=0.
Fatorando r em evidência:
r(r^{2}-5r+4)=0.
Fatoramos o quadrático r^{2}-5r+4. Procuramos dois números cujo produto seja 4 e soma seja 5; esses números são 1 e 4. Logo
r^{2}-5r+4=(r-1)(r-4),
e as raízes são
r=0,\quad r=1,\quad r=4.

Passo 4

Cada raiz r da característica gera uma solução e^{rx}. Como as três raízes são distintas, as três soluções são linearmente independentes e a solução geral é a combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{1\cdot x}+C_{3}e^{4\cdot x}.
Simplificando e^{0\cdot x}=1, obtemos
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{4x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (dependendo de condições iniciais, se houvesse).

Passo 5

Um pequeno resumo didático para usar em prova (pra você decorar a ideia):
  • Teste y=e^{rx}. Isso reduz a EDO para o polinômio característico em r.
  • Se uma raiz r tem multiplicidade m, as soluções associadas são e^{rx},\, x e^{rx},\, x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.
  • Se aparecerem raízes complexas conjugadas a\pm ib, elas correspondem às soluções reais e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).
    Um exemplo rápido: se a característica tivesse raiz dupla r=2, incluiríamos e^{2x} e x e^{2x} na solução geral.

Passo 6

Verificação rápida (útil para prova): tome
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{4x}.
As derivadas são
y'(x)=C_{2}e^{x}+4C_{3}e^{4x},
y''(x)=C_{2}e^{x}+16C_{3}e^{4x},
y'''(x)=C_{2}e^{x}+64C_{3}e^{4x}.
Substituindo em y'''-5y''+4y' e agrupando os termos em e^{x} e e^{4x}:
\begin{aligned} &\bigl(C_{2}(1-5+4)\bigr)e^{x}+\bigl(C_{3}(64-5\cdot 16+4\cdot 4)\bigr)e^{4x}=0\cdot e^{x}+0\cdot e^{4x}=0. \end{aligned}
Portanto a expressão satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes C_{1},C_{2},C_{3}.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{4x}

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