Resolver as equações diferenciais de terceira ordem
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre todas as soluções da equação diferencial
Informações que temos: é uma equação de ordem
(aparece
), não há condições iniciais dadas, e o objetivo é obter a solução geral
com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo exponencial porque funções exponenciais transformam derivadas em múltiplos delas mesmas — isso simplifica a equação para uma equação algébrica. Proponho
onde
é um número (possível raiz). Calcule as derivadas:
Substituindo na equação dada e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora resolvemos a equação algébrica
Fatorando
em evidência:
Fatoramos o quadrático
. Procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
; esses números são
e
. Logo
e as raízes são
Passo 4
Cada raiz
da característica gera uma solução
. Como as três raízes são distintas, as três soluções são linearmente independentes e a solução geral é a combinação linear delas:
Simplificando
, obtemos
onde
são constantes arbitrárias (dependendo de condições iniciais, se houvesse).
Passo 5
Um pequeno resumo didático para usar em prova (pra você decorar a ideia):
- Teste
. Isso reduz a EDO para o polinômio característico em . - Se uma raiz
tem multiplicidade , as soluções associadas são . - Se aparecerem raízes complexas conjugadas
, elas correspondem às soluções reais e .
Um exemplo rápido: se a característica tivesse raiz dupla, incluiríamos e na solução geral.
Passo 6
Verificação rápida (útil para prova): tome
As derivadas são
Substituindo em
e agrupando os termos em
e
:
Portanto a expressão satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
.