O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
b. Resolva a equação diferencial.
G c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 3y^2}{2\,x\,y}
e pede:
a. Mostrar que ela é homogênea.
b. Resolver por substituição y = x\,v(x).
c. Desenhar o campo de direções e verificar se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.

Passo 2

Uma equação dy/dx = f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0. Aqui
f(x,y)=\frac{x^2-3y^2}{2xy},
então
f(t x,t y)=\frac{(t x)^2-3(t y)^2}{2\,(t x)\,(t y)} =\frac{t^2(x^2-3y^2)}{2\,t^2\,x\,y} =\frac{x^2-3y^2}{2\,x\,y} =f(x,y).
Logo a EDO é homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição y = x\,v. Então
\frac{dy}{dx} =\frac{d}{dx}(xv) =v + x\frac{dv}{dx}.
No lado direito usamos y=xv:
\frac{x^2-3y^2}{2xy} =\frac{x^2-3(xv)^2}{2\,x\,(xv)} =\frac{x^2-3x^2v^2}{2x^2v} =\frac{1-3v^2}{2v}.
Assim a EDO vira
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{1-3v^2}{2v}.

Passo 4

Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =\frac{1-3v^2}{2v}-v =\frac{1-3v^2-2v^2}{2v} =\frac{1-5v^2}{2v}.
Separamos variáveis:
\frac{2v}{1-5v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{1-5v^2}\,dv =\int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, use u=1-5v^2, du=-10v\,dv, daí
\int \frac{2v}{1-5v^2}\,dv =-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u} =-\frac{1}{5}\ln\bigl|u\bigr|+C =-\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^2\bigr|+C.
Do lado direito vem \ln|x|+C'. Igualando constantes,
-\tfrac{1}{5}\ln\bigl|1-5v^2\bigr| =\ln|x|+C_1.

Passo 5

Multiplicando por -5 e exponenciando:
\ln\bigl|1-5v^2\bigr| =-5\ln|x|+C_2 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|1-5v^2\bigr|=C\,x^{-5}.
Voltando a v=y/x:
1-5\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=\frac{C}{x^5} \quad\Longrightarrow\quad x^5-5x^3y^2=C.
Essa é a solução implícita geral.

Passo 6

O campo de direções de uma EDO homogênea tem a propriedade
f(-x,-y)=f(x,y),
o que se vê diretamente na fórmula. Isso implica que, se (x,y(x)) é uma integral, então (-x,-y(-x)) também é, garantindo simetria das curvas em relação à origem.

Resposta

A solução implícita geral é
x^5 - 5\,x^3\,y^2 = C,
e as curvas integrais são simétricas em relação à origem.

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