O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
b. Resolva a equação diferencial.
G c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem? \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 3y^2}{2\,x\,y}
e pede:
a. Mostrar que ela é homogênea.
b. Resolver por substituição y = x\,v(x).
c. Desenhar o campo de direções e verificar se as curvas integrais são simétricas em relação à origem.
Passo 2
Uma equação dy/dx = f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0. Aqui
O campo de direções de uma EDO homogênea tem a propriedade
f(-x,-y)=f(x,y),
o que se vê diretamente na fórmula. Isso implica que, se (x,y(x)) é uma integral, então (-x,-y(-x)) também é, garantindo simetria das curvas em relação à origem.
Resposta
A solução implícita geral é
x^5 - 5\,x^3\,y^2 = C,
e as curvas integrais são simétricas em relação à origem.