Calcule as derivadas das funções abaixo:
h(t)=\left(e^{\left(t^{2}\right)} \cos (t), \ln (t \sin (t))\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor h(t)=\bigl(e^{(t^{2})}\cos(t),\;\ln\bigl(t\sin(t)\bigr)\bigr).
Para isso vamos usar as seguintes regras de diferenciação: regra do produto, regra da cadeia e derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Derivada do primeiro componente h_{1}(t)=e^{t^{2}}\cos(t).
Defina f(t)=e^{t^{2}} e g(t)=\cos(t).
Pela regra do produto
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)g(t)\bigr)=f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t).
Aqui f'(t)=e^{t^{2}}\cdot2t (regra da cadeia)
e g'(t)=-\sin(t).
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\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}\cos(t)\bigr) =2t\,e^{t^{2}}\cos(t)-e^{t^{2}}\sin(t).

Passo 3

Derivada do segundo componente h_{2}(t)=\ln\bigl(t\sin(t)\bigr).
Seja u(t)=t\sin(t). Pela derivada do logaritmo natural e regra do produto em u(t):
h_{2}'(t) =\frac{u'(t)}{u(t)}, \quad u'(t)=\sin(t)+t\cos(t).
Como u(t)=t\sin(t), obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\ln(t\sin(t))\bigr) =\frac{\sin(t)+t\cos(t)}{t\sin(t)}.

Resposta

h'(t) =\bigl(\,2t\,e^{t^{2}}\cos(t)-e^{t^{2}}\sin(t),\; \tfrac{\sin(t)+t\cos(t)}{t\sin(t)}\bigr).

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