Considere o problema de valor inicial
a. Determine o comportamento da solução quando
.
b. Se
, encontre o instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99 .
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo
no instante
.
G 22. Considere o problema de valor inicial
a. Determine o comportamento da solução quando
.
b. Se
, encontre o instante
no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99 .
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo
no instante
.
b. Se
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo
G 22. Considere o problema de valor inicial
b. Se
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é um caso de equação logística com coeficiente dependente de
. Para responder às três perguntas, vamos:
– separar variáveis e integrar para obter a solução geral em função de
;
– analisar o limite quando (item a);
– impor e resolver
para
(item b);
– impor e resolver a desigualdade
para
(item c).
– separar variáveis e integrar para obter a solução geral
– analisar o limite quando
– impor
– impor
Passo 2
Separamos variáveis:
Fazendo frações parciais em
e integrando, obtemos
Logo
ou seja
Exponenciando e usando
para achar
, chegamos à forma explícita
Passo 3
(a) Para
, temos
. Na expressão
o termo adicional tende a zero, de modo que
Passo 4
(b) Se
, então
e a condição
vira
Tomando logaritmo,
Resolvendo numericamente essa equação encontra-se
Passo 5
(c) Queremos
. Em
, defina
Então
As desigualdades
impõem
Como
, resolve-se para
e obtém-se numericamente
Resposta
a.
.
b. .
c. deve pertencer a aproximadamente
.
b.
c.