Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{t y(4-y)}{1+t}, y(0)=y_{0}>0 .
a. Determine o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
b. Se y_{0}=2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99 .
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99<y<4,01 no instante t=2.
G 22. Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{t y(4-y)}{1+t}, y(0)=y_{0}>0 .
a. Determine o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
b. Se y_{0}=2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99 .
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99<y<4,01 no instante t=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = \frac{t\,y\,(4 - y)}{1 + t},\quad y(0)=y_{0}>0
que é um caso de equação logística com coeficiente dependente de t. Para responder às três perguntas, vamos:
– separar variáveis e integrar para obter a solução geral y(t) em função de y_{0};
– analisar o limite quando t\to\infty (item a);
– impor y_{0}=2 e resolver y(T)=3{,}99 para T (item b);
– impor t=2 e resolver a desigualdade 3{,}99<y(2)<4{,}01 para y_{0} (item c).

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{y(4-y)} = \frac{t}{1+t}\,dt.
Fazendo frações parciais em \frac1{y(4-y)}=\frac14\Bigl(\frac1y+\frac1{4-y}\Bigr) e integrando, obtemos
\int \frac{dy}{y(4-y)} = \frac14\ln\frac{y}{4-y}, \quad \int \frac{t}{1+t}\,dt = t - \ln(1+t).
Logo
\frac14\ln\frac{y}{4-y} = t - \ln(1+t) + C,
ou seja
\ln\frac{y}{4-y} = 4t - 4\ln(1+t) + C_{1}.
Exponenciando e usando y(0)=y_{0} para achar C_{1}, chegamos à forma explícita
y(t) = \frac{4}{1 + \displaystyle\frac{4-y_{0}}{y_{0}}\,(1+t)^{4}\,e^{-4t}} = \frac{4\,y_{0}\,e^{4t}}{(4-y_{0})(1+t)^{4} + y_{0}\,e^{4t}}.

Passo 3

(a) Para t\to\infty, temos (1+t)^{4}e^{-4t}\to0. Na expressão
y(t) = \frac{4}{1 + \frac{4-y_{0}}{y_{0}}\,(1+t)^{4}e^{-4t}},
o termo adicional tende a zero, de modo que
\lim_{t\to\infty}y(t) = \frac{4}{1+0} = 4.

Passo 4

(b) Se y_{0}=2, então \frac{4-y_{0}}{y_{0}}=1 e a condição y(T)=3{,}99 vira
\frac{3{,}99}{4-3{,}99} = \frac{3{,}99}{0{,}01} = 399 = \frac{e^{4T}}{(1+T)^{4}}.
Tomando logaritmo,
\ln(399) = 4T - 4\ln(1+T).
Resolvendo numericamente essa equação encontra-se
T \approx 2{,}85.

Passo 5

(c) Queremos 3{,}99 < y(2) < 4{,}01. Em t=2, defina
A(y_{0}) = \frac{4-y_{0}}{y_{0}}\,(1+2)^{4}e^{-8} = \frac{4-y_{0}}{y_{0}}\;81\,e^{-8}.
Então
y(2) = \frac{4}{1 + A(y_{0})}.
As desigualdades
3{,}99 < \frac{4}{1 + A(y_{0})} < 4{,}01
impõem
-0{,}002494 < A(y_{0}) < 0{,}002506.
Como A(y_{0}) = 81\,e^{-8}\,\frac{4-y_{0}}{y_{0}}, resolve-se para y_{0} e obtém-se numericamente
3{,}662 \;\lesssim\; y_{0} \;\lesssim\; 4{,}405.

Resposta

a. \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=4.
b. T\approx 2{,}85.
c. y_{0} deve pertencer a aproximadamente \bigl(3{,}662,\;4{,}405\bigr).

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