Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma de série em (*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções r_{1} e r_{2} são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os a_{n} (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por y_{1}=\left(x-x_{0}\right)^{r_{1}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \quad e y_{2}=\left(x-x_{0}\right)^{r_{2}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} se estas são linearmente independes, assim a solução geral é y(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x). Com estas informações resolva as equações diferenciais: 3 x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas (lista do que temos):
A equação é dada explicitamente por 3x\,y''+y'+y=0.
O ponto onde a série será centrada é x_0=0 (o coeficiente de y'' anula em x=0).
Devemos obter a equação indicial (para achar os valores de r), a relação de recorrência entre os coeficientes a_n e o intervalo (ou raio) de convergência da(s) solução(ões).
Vamos procurar duas soluções de Frobenius do tipo \displaystyle y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} com a_0\neq0.
Passo 2
Assumimos a forma de Frobenius
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},
com a_0\neq 0 e r desconhecido. Vou calcular y' e y'' termwise (ou seja, derivando termo a termo a série): quando se deriva \;x^{n+r}\; o resultado é (n+r)x^{n+r-1}; na segunda derivada aparece (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}. Isso é um procedimento padrão: se a série converge suficientemente, podemos derivar termo a termo.
Para somar tudo numa única soma com potência x^{n+r-1} faço a mudança de índice na última soma: escrevo \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n+r-1}. Assim
\underbrace{(r)(3r-2)\,a_0}_{\text{termo com }x^{r-1}} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(n+r)(3n+3r-2)\,a_n + a_{n-1}\Bigr]x^{n+r-1}=0.
Para que esta série seja identicamente zero, o coeficiente do menor poder x^{r-1} deve ser zero (isso dá a equação indicial) e para todo n\ge1 os coeficientes dentro da soma devem ser zero (isso dá a recorrência).
Passo 5
Escrevo a equação indicial e a recorrência:
Equação indicial (obtida do coeficiente de x^{r-1}):
(r)(3r-2)\,a_0=0.
Como a_0\neq0 segue
r(3r-2)=0.
Logo as raízes indiciais são
r_1=0,\qquad r_2=\frac{2}{3}.
Recorrência (para n\ge1, impondo o coeficiente de x^{n+r-1} igual a zero):
Isto nos permite calcular todos os a_n iterativamente a partir de a_0.
Observação importante: as duas raízes indiciais diferem por \dfrac{2}{3}, que não é inteiro; portanto teremos duas soluções de Frobenius linearmente independentes, uma para cada valor de r.
Passo 6
Vou construir explicitamente os primeiros coeficientes de cada solução, escolhendo a normalização prática a_0=1 em cada caso (isso apenas define a solução base; as constantes gerais aparecem depois como C_1,C_2).
As duas soluções y_1 e y_2 são linearmente independentes porque as raízes indiciais r_1=0 e r_2=\tfrac{2}{3} diferem por um número que não é inteiro.
Assim a solução geral da EDO é
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 9
Raio/intervalo de convergência:
Colocando a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (dividindo por 3x) obtemos
y''+\frac{1}{3x}y'+\frac{1}{3x}y=0.
As funções P(x)=\dfrac{1}{3x} e Q(x)=\dfrac{1}{3x} são analíticas em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}. Portanto, não há singularidade finita além de x=0. Pelo teorema padrão sobre séries de Frobenius, o raio de convergência das séries em torno de x=0 estende-se até o singularidade finita mais próxima diferente de 0; aqui não existe outra singularidade finita, logo o raio de convergência é infinito. Conclusão: as séries convergem para todo x\in\mathbb{R} (na prática o raio é infinito).
Observação sobre o termo x^{2/3}: para x real a potência x^{2/3} pode ser escrita como \bigl(\text{sgn}(x)\,|x|\bigr)^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2, que é real para todo x (a raiz cúbica de um número real é real). Portanto não há problema em interpretar y_2 como função real para x\in\mathbb{R}.
Resposta
y_1(x)=1 - x + \dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{168}x^3 + \dfrac{1}{6720}x^4+\cdots\n y_2(x)=x^{2/3}\Bigl(1 - \tfrac{1}{5}x + \tfrac{1}{80}x^2 - \tfrac{1}{2640}x^3 +\cdots\Bigr)\n y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x) (as séries de Frobenius com raio de convergência infinito).