O Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma
\text { (*) } y=\left(x-x_{0}\right)^{r} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r}, \quad \text { supondo } a_{0} \neq 0
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma de série em (*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções r_{1} e r_{2} são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os a_{n} (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por y_{1}=\left(x-x_{0}\right)^{r_{1}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \quad e y_{2}=\left(x-x_{0}\right)^{r_{2}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} se estas são linearmente independes, assim a solução geral é y(x)=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x). Com estas informações resolva as equações diferenciais:
3 x y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação diferencial
3x\,y''+y'+y=0
usando o método de séries na forma de Frobenius
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},\qquad a_0\neq 0.
Informações dadas e observações imediatas (lista do que temos):
  • A equação é dada explicitamente por 3x\,y''+y'+y=0.
  • O ponto onde a série será centrada é x_0=0 (o coeficiente de y'' anula em x=0).
  • Devemos obter a equação indicial (para achar os valores de r), a relação de recorrência entre os coeficientes a_n e o intervalo (ou raio) de convergência da(s) solução(ões).
  • Vamos procurar duas soluções de Frobenius do tipo \displaystyle y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} com a_0\neq0.

Passo 2

Assumimos a forma de Frobenius
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},
com a_0\neq 0 e r desconhecido. Vou calcular y' e y'' termwise (ou seja, derivando termo a termo a série): quando se deriva \;x^{n+r}\; o resultado é (n+r)x^{n+r-1}; na segunda derivada aparece (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}. Isso é um procedimento padrão: se a série converge suficientemente, podemos derivar termo a termo.

Passo 3

Calcule as derivadas termo a termo:
y'=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,a_n\,x^{n+r-1},
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_n\,x^{n+r-2}.
Agora multiplico y'' por 3x (conforme a EDO):
3x\,y''=3\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_n\,x^{n+r-1}.

Passo 4

Substituo y',\,y'' na equação 3x\,y''+y'+y=0:
3\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_n\,x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,a_n\,x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^{n+r}=0.
Agrupo as duas primeiras somas (que têm a mesma potência x^{n+r-1}):
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl[3(n+r)(n+r-1)+(n+r)\bigr]a_n\,x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^{n+r}=0.
Simplifico o coeficiente entre colchetes:
3(n+r)(n+r-1)+(n+r)=(n+r)\bigl(3(n+r-1)+1\bigr)=(n+r)\bigl(3n+3r-2\bigr).
Então a equação fica
\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(3n+3r-2)\,a_n\,x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,x^{n+r}=0.
Para somar tudo numa única soma com potência x^{n+r-1} faço a mudança de índice na última soma: escrevo \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n+r-1}. Assim
\underbrace{(r)(3r-2)\,a_0}_{\text{termo com }x^{r-1}} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(n+r)(3n+3r-2)\,a_n + a_{n-1}\Bigr]x^{n+r-1}=0.
Para que esta série seja identicamente zero, o coeficiente do menor poder x^{r-1} deve ser zero (isso dá a equação indicial) e para todo n\ge1 os coeficientes dentro da soma devem ser zero (isso dá a recorrência).

Passo 5

Escrevo a equação indicial e a recorrência:
  • Equação indicial (obtida do coeficiente de x^{r-1}):
(r)(3r-2)\,a_0=0.
Como a_0\neq0 segue
r(3r-2)=0.
Logo as raízes indiciais são
r_1=0,\qquad r_2=\frac{2}{3}.
  • Recorrência (para n\ge1, impondo o coeficiente de x^{n+r-1} igual a zero):
(n+r)(3n+3r-2)\,a_n + a_{n-1}=0,
ou seja
a_n = -\,\frac{a_{n-1}}{(n+r)(3n+3r-2)}.
É útil reescrever como
a_n = -\,\frac{a_{n-1}}{(n+r)\bigl(3(n+r)-2\bigr)}.
Isto nos permite calcular todos os a_n iterativamente a partir de a_0.
Observação importante: as duas raízes indiciais diferem por \dfrac{2}{3}, que não é inteiro; portanto teremos duas soluções de Frobenius linearmente independentes, uma para cada valor de r.

Passo 6

Vou construir explicitamente os primeiros coeficientes de cada solução, escolhendo a normalização prática a_0=1 em cada caso (isso apenas define a solução base; as constantes gerais aparecem depois como C_1,C_2).
Caso r=r_1=0:
A recorrência é
a_n = -\frac{a_{n-1}}{n(3n-2)}\qquad(n\ge1).
Calculo os primeiros termos:
a_1=-\frac{a_0}{1(3\cdot1-2)}=-\frac{1}{1\cdot1}=-1.
a_2=-\frac{a_1}{2(3\cdot2-2)}=-\frac{-1}{2(6-2)}=\frac{1}{2\cdot4}=\frac{1}{8}.
a_3=-\frac{a_2}{3(3\cdot3-2)}=-\frac{1/8}{3(9-2)}=-\frac{1}{8\cdot3\cdot7}=-\frac{1}{168}.
a_4=-\frac{a_3}{4(3\cdot4-2)}=-\frac{-1/168}{4(12-2)}=\frac{1}{168\cdot4\cdot10}=\frac{1}{6720}.
Portanto a primeira solução (com a_0=1) é
y_1(x)=1 - x + \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{168}x^3 + \frac{1}{6720}x^4+\cdots.

Passo 7

Caso r=r_2=\dfrac{2}{3}:
A recorrência é
a_n = -\frac{a_{n-1}}{(n+\tfrac{2}{3})\bigl(3(n+\tfrac{2}{3})-2\bigr)}.
Calculo os primeiros termos com a_0=1:
Para n=1:
a_1=-\frac{1}{(1+\tfrac{2}{3})\bigl(3(1+\tfrac{2}{3})-2\bigr)} =-\frac{1}{\tfrac{5}{3}\,(5-2)}=-\frac{1}{\tfrac{5}{3}\cdot3}=-\frac{1}{5}.
Para n=2:
a_2=-\frac{a_1}{(2+\tfrac{2}{3})\bigl(3(2+\tfrac{2}{3})-2\bigr)} =-\frac{-1/5}{\tfrac{8}{3}\,(8-2)}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\tfrac{8}{3}\cdot6} =\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{80}.
Para n=3:
a_3=-\frac{a_2}{(3+\tfrac{2}{3})\bigl(3(3+\tfrac{2}{3})-2\bigr)} =-\frac{1/80}{\tfrac{11}{3}\,(11-2)}=-\frac{1}{80}\cdot\frac{1}{\tfrac{11}{3}\cdot9} =-\frac{1}{80}\cdot\frac{1}{33}=-\frac{1}{2640}.
Logo a segunda solução (com a_0=1) é
y_2(x)=x^{2/3}\Bigl(1 - \tfrac{1}{5}x + \tfrac{1}{80}x^2 - \tfrac{1}{2640}x^3 +\cdots\Bigr).

Passo 8

Independência linear e solução geral:
  • As duas soluções y_1 e y_2 são linearmente independentes porque as raízes indiciais r_1=0 e r_2=\tfrac{2}{3} diferem por um número que não é inteiro.
  • Assim a solução geral da EDO é
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 9

Raio/intervalo de convergência:
  • Colocando a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (dividindo por 3x) obtemos
y''+\frac{1}{3x}y'+\frac{1}{3x}y=0.
As funções P(x)=\dfrac{1}{3x} e Q(x)=\dfrac{1}{3x} são analíticas em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}. Portanto, não há singularidade finita além de x=0. Pelo teorema padrão sobre séries de Frobenius, o raio de convergência das séries em torno de x=0 estende-se até o singularidade finita mais próxima diferente de 0; aqui não existe outra singularidade finita, logo o raio de convergência é infinito. Conclusão: as séries convergem para todo x\in\mathbb{R} (na prática o raio é infinito).
  • Observação sobre o termo x^{2/3}: para x real a potência x^{2/3} pode ser escrita como \bigl(\text{sgn}(x)\,|x|\bigr)^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2, que é real para todo x (a raiz cúbica de um número real é real). Portanto não há problema em interpretar y_2 como função real para x\in\mathbb{R}.

Resposta

y_1(x)=1 - x + \dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{1}{168}x^3 + \dfrac{1}{6720}x^4+\cdots\n
y_2(x)=x^{2/3}\Bigl(1 - \tfrac{1}{5}x + \tfrac{1}{80}x^2 - \tfrac{1}{2640}x^3 +\cdots\Bigr)\n
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x) (as séries de Frobenius com raio de convergência infinito).

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