O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções em forma de séries de potência em torno de um ponto x_{0}\) onde está definida a EDO: \[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0
Este método é útil quando Q(x) / P(x) e R(x) / P(x) não são analíticas em x_{0}, o que ocorre quando o ponto é singular.
Tomemos o exemplo:
2 x y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}-3 y=0
Note que x_{0}=0 é um ponto singular. Assumimos uma solução da forma:
y(x)=x^{r} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r} .
Derivando:
y^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r) a_{n} x^{n+r-1}
y^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1) a_{n} x^{n+r-2}
Substituindo:
\begin{gathered} (x+1) y^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r) a_{n} x^{n+r}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r) a_{n} x^{n+r-1} \\\\ 2 x y^{\prime \prime}=\sum_{n=0}^{\infty} 2(n+r)(n+r-1) a_{n} x^{n+r-1} \\\\ -3 y=\sum_{n=0}^{\infty}-3 a_{n} x^{n+r} \end{gathered}
Ajustando índices:
\begin{gathered} (x+1) y^{\prime}=r a_{0} x^{r-1}+\sum_{j=1}^{\infty}\left[(j+r) a_{j}+(j+r-1) a_{j-1}\right] x^{j+r-1} \\\\ 2 x y^{\prime \prime}=r(r-1) a_{0} x^{r-1}+\sum_{j=1}^{\infty} 2(j+r)(j+r-1) a_{j} x^{j+r-1} \\\\ -3 y=\sum_{j=1}^{\infty}-3 a_{j-1} x^{j+r-1} \end{gathered}
Substituindo na EDO:
r(2 r-1) a_{0} x^{r-1}+\sum_{j=1}^{\infty}\left[(j+r)(2 j+2 r-1) a_{j}+(j+r+2) a_{j-1}\right] x^{j+r-1}=0
Equação indicial:
F(r)=r(2 r-1)=0
Logo:
r_{1}=0, \quad r_{2}=\frac{1}{2}
Relação de recorrência:
a_{j}=-\frac{(j+r+2)}{(j+r)(2 j+2 r-1)} a_{j-1}
A solução geral depende de duas soluções linearmente independentes:
y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)
com:
y_{1}(x)=|x|^{r_{1}}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(r_{1}\right) x^{n}\right]
e:
y_{2}(x)= \begin{cases}|x|^{r_{2}}\left[1+\sum a_{n}\left(r_{2}\right) x^{n}\right], & r_{1}-r_{2} \notin \mathbb{N} \\\ y_{1}(x) \ln |x|+|x|^{r_{1}} \sum b_{n} x^{n}, & r_{1}=r_{2} \\\ k y_{1}(x) \ln |x|+|x|^{r_{2}} \sum c_{n} x^{n}, & r_{1}-r_{2} \in \mathbb{N}\end{cases}
Agora é a sua vez. Repita o processo para:
(a) (x^{2} y^{\prime \prime}+x y{\prime}+x{2} y=0]

Passo 1

O enunciado pede que se aplique o método de Frobenius à equação
x^{2}y''+x y'+x^{2}y=0,
assumindo uma solução em série centrada em x_{0}=0. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Equação dada: \,x^{2}y''+x y'+x^{2}y=0.
  • Ponto em estudo: x_{0}=0, que é um ponto singular (pois os coeficientes de y' e y divididos por x^{2} não são analíticos em 0 na forma usual).
  • Suposição do método de Frobenius: procurar soluções da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r},\qquad a_{0}\neq0,
onde r é o expoente indicial a determinar e os a_n são coeficientes a encontrar.
  • Objetivo: determinar as duas soluções linearmente independentes (ou a forma geral da solução) usando Frobenius, explicando passo a passo.
Não vou resolver nada ainda além de explicitar os dados: a série assumida, a equação e que precisamos obter indicial, recorrência e as duas soluções independentes.

Passo 2

Derivo a série suposta para usar na EDO. Com
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r}
temos as derivadas termoby-term:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n} x^{n+r-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n} x^{n+r-2}.
Agora multiplico cada termo pelos fatores da EDO e escrevo cada soma em potências x^{n+r} (ou x^{n+r} deslocadas) para comparar coeficientes.
  • Para x^{2}y'':
x^{2}y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_{n} x^{n+r}.
  • Para x y':
x y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n} x^{n+r}.
  • Para x^{2}y:
x^{2}y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r+2}.
Para somar tudo, reindexo o último termo para que todas as somas fiquem com potência x^{n+r}. Fazendo n\mapsto n-2 no terceiro somatório:
x^{2}y=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n+r}.

Passo 3

Somando os três termos e igualando a zero:
\sum_{n=0}^{\infty}\big[(n+r)(n+r-1)a_{n}+(n+r)a_{n}\big]x^{n+r} +\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n+r}=0.
Agrupo o que tem o mesmo expoente x^{n+r}. Note que
(n+r)(n+r-1)a_{n}+(n+r)a_{n}=(n+r)^{2}a_{n}.
Portanto:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)^{2}a_{n}x^{n+r}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n+r}=0.
Para que essa soma seja a série nula, todos os coeficientes de x^{n+r} devem ser zero; isto fornece a equação indicial e a relação de recorrência.

Passo 4

Primeiro, obtemos a equação indicial olhando para o menor expoente possível, que é n=0. Coeficiente de x^{r} (ou x^{0+r}):
(r)^{2}a_{0}=0.
Como a_{0}\neq0 por hipótese, a equação indicial é
r^{2}=0.
Portanto temos raiz dupla:
r_{1}=0,\qquad r_{2}=0.
Explicação curta do que isto significa: um expoente indicial repetido indica que a segunda solução independente, em geral, contém um termo logarítmico (ou exige um procedimento adicional para obtê-la).

Passo 5

Agora as condições para os coeficientes para n\ge1. Para n=1 o segundo somatório não contribui (pois começa em n=2), então a condição é
(1+r)^{2}a_{1}=0.
Com r=0 obtemos a_{1}=0.
Para n\ge2 obtemos a relação de recorrência combinando os dois somatórios:
(n+r)^{2}a_{n}+a_{n-2}=0\qquad (n\ge2).
Daqui:
a_{n}=-\frac{a_{n-2}}{(n+r)^{2}}.
Isto é a relação geral; agora vamos escolher a raiz r=0 (pois é a raiz dupla) e analisar os coeficientes.

Passo 6

Tomando r=0, a recorrência fica
a_{n}=-\frac{a_{n-2}}{n^{2}}\qquad (n\ge2),
com a_{1}=0 e a_{0} arbitrário. Isto implica que todos os coeficientes de índice ímpar são nulos (porque a_{1}=0 e a recorrência liga a_{3} a a_{1}, etc.). Portanto a solução que nasce com a_{0} tem apenas termos pares. Escrevendo n=2m obtemos, por recorrência iterada,
a_{2m}=(-1)^{m}\frac{a_{0}}{\prod_{k=1}^{m}(2k)^{2}} =(-1)^{m}\frac{a_{0}}{4^{m}(m!)^{2}}.
Explicando a simplificação: \prod_{k=1}^{m}(2k)^{2}=4^{m}(m!)^{2}, pois cada (2k)^{2}=4 k^{2} e multiplicando dá 4^{m}\prod k^{2}=4^{m}(m!)^{2}.

Passo 7

Escrevo então a solução associada a r=0 (escolhendo a_{0}=1 para obter a forma padrão):
y_{1}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m} x^{2m} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{4^{m}(m!)^{2}}.
Repare que esta série é justamente a série de Taylor conhecida da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero J_{0}(x), cuja série é
J_{0}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{(x/2)^{2m}}{(m!)^{2}} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{4^{m}(m!)^{2}}.
Logo podemos identificar
y_{1}(x)=C_{1}J_{0}(x).
Escolhendo a normalização C_{1}=1 dá a solução padrão y_{1}(x)=J_{0}(x).

Passo 8

Agora a segunda solução independente. Como a equação indicial teve raiz dupla ( r_{1}=r_{2}=0), o método de Frobenius padrão diz que a segunda solução não pode ser obtida pela mesma fórmula com outro r distinto; em geral existe uma solução da forma
y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln|x|+x^{r}\sum_{n=0}^{\infty} b_{n} x^{n}
ou, dito de outra forma, um termo logarítmico aparece. Há duas maneiras habituais de obter explicitamente y_{2}:
  1. Usar o método de redução de ordem: colocando a equação na forma padrão
y''+\frac{1}{x}y'+y=0
e sabendo uma solução y_{1}, a segunda solução pode ser obtida por
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int (1/x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx = y_{1}\int \frac{1}{x\,y_{1}^{2}}\,dx.
Essa integral, com y_{1}=J_{0}(x), gera uma função que comporta um termo \ln x perto de x=0 e define a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero, denotada Y_{0}(x).
  1. Fazer a variação do parâmetro r (diferenciar a solução em série formal em função de r e avaliar em r=0), o que também produz o termo logarítmico e os coeficientes b_{n}. O procedimento é mais técnico, mas conduz ao mesmo resultado: a segunda solução tem comportamento logarítmico e é proporcional a Y_{0}(x).
A função obtida é a função de Bessel de segunda espécie (ou de Neumann) de ordem zero Y_{0}(x). Perto de x=0 ela tem comportamento singular tipo logaritmo:
Y_{0}(x)\sim \frac{2}{\pi}\Big(\ln\frac{x}{2}+\gamma\Big) \quad\text{quando }x\to0,
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni; e pode ser escrita como
Y_{0}(x)=\frac{2}{\pi}\Big(\ln\frac{x}{2}+\gamma\Big)J_{0}(x) +\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1} H_{m}\frac{(x/2)^{2m}}{(m!)^{2}},
com H_{m}=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac{1}{m} (número harmônico). Essa expressão mostra explicitamente o termo logarítmico combinado com uma série analítica.

Passo 9

Conclusão e interpretação: a base de soluções da equação
x^{2}y''+x y'+x^{2}y=0
é formada por duas funções linearmente independentes, que tipicamente escolhemos como as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero:
J_{0}(x)\quad\text{e}\quad Y_{0}(x).
Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}J_{0}(x)+C_{2}Y_{0}(x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Pelo método de Frobenius, J_{0} aparece diretamente como a série obtida com r=0 e a_{1}=0, enquanto Y_{0} é a solução independente que contém o termo logarítmico por causa da raiz indicial dupla.

Resposta

y_{1}(x)=\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{4^{m}(m!)^{2}}=J_{0}(x)
y_{2}(x)=Y_{0}(x) (função de Bessel de segunda espécie de ordem zero; equivalente a y_{1}(x)\ln|x|+ uma série analítica)

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