O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções em forma de séries de potência em torno de um ponto x_{0}\) onde está definida a EDO:
\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0
Este método é útil quando Q(x) / P(x) e R(x) / P(x) não são analíticas em x_{0}, o que ocorre quando o ponto é singular.
Tomemos o exemplo:
2 x y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}-3 y=0
Note que x_{0}=0 é um ponto singular. Assumimos uma solução da forma:
onde r é o expoente indicial a determinar e os a_n são coeficientes a encontrar.
Objetivo: determinar as duas soluções linearmente independentes (ou a forma geral da solução) usando Frobenius, explicando passo a passo.
Não vou resolver nada ainda além de explicitar os dados: a série assumida, a equação e que precisamos obter indicial, recorrência e as duas soluções independentes.
Para que essa soma seja a série nula, todos os coeficientes de x^{n+r} devem ser zero; isto fornece a equação indicial e a relação de recorrência.
Passo 4
Primeiro, obtemos a equação indicial olhando para o menor expoente possível, que é n=0. Coeficiente de x^{r} (ou x^{0+r}):
(r)^{2}a_{0}=0.
Como a_{0}\neq0 por hipótese, a equação indicial é
r^{2}=0.
Portanto temos raiz dupla:
r_{1}=0,\qquad r_{2}=0.
Explicação curta do que isto significa: um expoente indicial repetido indica que a segunda solução independente, em geral, contém um termo logarítmico (ou exige um procedimento adicional para obtê-la).
Passo 5
Agora as condições para os coeficientes para n\ge1. Para n=1 o segundo somatório não contribui (pois começa em n=2), então a condição é
(1+r)^{2}a_{1}=0.
Com r=0 obtemos a_{1}=0.
Para n\ge2 obtemos a relação de recorrência combinando os dois somatórios:
(n+r)^{2}a_{n}+a_{n-2}=0\qquad (n\ge2).
Daqui:
a_{n}=-\frac{a_{n-2}}{(n+r)^{2}}.
Isto é a relação geral; agora vamos escolher a raiz r=0 (pois é a raiz dupla) e analisar os coeficientes.
Passo 6
Tomando r=0, a recorrência fica
a_{n}=-\frac{a_{n-2}}{n^{2}}\qquad (n\ge2),
com a_{1}=0 e a_{0} arbitrário. Isto implica que todos os coeficientes de índice ímpar são nulos (porque a_{1}=0 e a recorrência liga a_{3} a a_{1}, etc.). Portanto a solução que nasce com a_{0} tem apenas termos pares. Escrevendo n=2m obtemos, por recorrência iterada,
Escolhendo a normalização C_{1}=1 dá a solução padrão y_{1}(x)=J_{0}(x).
Passo 8
Agora a segunda solução independente. Como a equação indicial teve raiz dupla (r_{1}=r_{2}=0), o método de Frobenius padrão diz que a segunda solução não pode ser obtida pela mesma fórmula com outro r distinto; em geral existe uma solução da forma
Essa integral, com y_{1}=J_{0}(x), gera uma função que comporta um termo \ln x perto de x=0 e define a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero, denotada Y_{0}(x).
Fazer a variação do parâmetro r (diferenciar a solução em série formal em função de r e avaliar em r=0), o que também produz o termo logarítmico e os coeficientes b_{n}. O procedimento é mais técnico, mas conduz ao mesmo resultado: a segunda solução tem comportamento logarítmico e é proporcional a Y_{0}(x).
A função obtida é a função de Bessel de segunda espécie (ou de Neumann) de ordem zero Y_{0}(x). Perto de x=0 ela tem comportamento singular tipo logaritmo:
com H_{m}=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac{1}{m} (número harmônico). Essa expressão mostra explicitamente o termo logarítmico combinado com uma série analítica.
Passo 9
Conclusão e interpretação: a base de soluções da equação
x^{2}y''+x y'+x^{2}y=0
é formada por duas funções linearmente independentes, que tipicamente escolhemos como as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero:
J_{0}(x)\quad\text{e}\quad Y_{0}(x).
Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}J_{0}(x)+C_{2}Y_{0}(x),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Pelo método de Frobenius, J_{0} aparece diretamente como a série obtida com r=0 e a_{1}=0, enquanto Y_{0} é a solução independente que contém o termo logarítmico por causa da raiz indicial dupla.
Resposta
y_{1}(x)=\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{4^{m}(m!)^{2}}=J_{0}(x) y_{2}(x)=Y_{0}(x) (função de Bessel de segunda espécie de ordem zero; equivalente a y_{1}(x)\ln|x|+ uma série analítica)