Usaremos a notação y(x) para indicar funções y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e y^{\prime}(x) suas derivadas com respeito a x.
(a) Considere a equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+x^{2} y=0
Determine uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
onde a_{n} são coeficientes reais com a_{0}=1.
(b) Na equação
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 k y=0,
a constante k assume valores inteiros maiores ou iguais a zero. Fixado k, existe uma solução H_{k}(x) tal que:
\begin{gathered} H_{k}(0)=1, \quad H_{k}^{\prime}(0)=0 \text { para } k \text { par } \\\ H_{k}(0)=0, \quad H_{k}^{\prime}(0)=1 \text { para } k \text { impar. } \end{gathered}
Determine H_{k}(x) para k=0,1,2,3,4,5.
Passo 1
O enunciado fornece duas equações diferenciais e pede soluções por série ou polinômios, com condições iniciais explícitas.
(a) A equação é
x^{2}y^{\prime\prime}+x y^{\prime}+x^{2}y=0.
Pede-se uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
com a condição a_{0}=1.
(b) A equação é
y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2k y=0,
com k\in\{0,1,2,\dots\}. Para cada k existe uma solução H_{k}(x) normalizada pelas condições:
\begin{gathered} H_{k}(0)=1,\quad H_{k}^{\prime}(0)=0\quad\text{se \(k\) é par},\\[4pt] H_{k}(0)=0,\quad H_{k}^{\prime}(0)=1\quad\text{se \(k\) é ímpar}. \end{gathered}
Pede-se determinar explicitamente H_{k}(x) para k=0,1,2,3,4,5.]
Passo 2
Método geral (explicação didática sobre séries de potências). Vou expandir a solução como série de potências em torno de x=0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Para usar isso numa equação diferencial, é preciso:
escrever y^{\prime} e y^{\prime\prime} como séries (derivando termo a termo),
substituir na equação,
ajustar índices para obter potências iguais de x,
igualar coeficientes de cada potência de x a zero e obter uma recorrência para os a_{n}.
Derivar termo a termo é permitido porque uma série de potências converge uniformemente em intervalos pequenos; na prática este procedimento produz as recorrências que determinam os coeficientes.
Passo 3
Resolver a parte (a): calcular derivadas e substituir.
Escrever em uma única soma por potências x^{n}. Para n=0 e n=1 só aparece o primeiro somatório; para n\ge 2 aparecem os dois termos. Igualando coeficientes de x^{n} a zero obtemos:
Interpretar a recorrência e calcular os primeiros coeficientes usando a_{0}=1.
Da recorrência a_{n} = -\dfrac{a_{n-2}}{n^{2}} segue que todos os termos de índice ímpar são nulos porque a_{1}=0 e a recorrência liga a_{n} a a_{n-2}. Assim a_{2m+1}=0 para todo m\ge 0.
Igualando coeficientes de x^{n} a zero obtemos a recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (2k-2n)a_{n}=0,
ou seja
a_{n+2}=\frac{2(n-k)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.
Passo 9
Observações importantes sobre a recorrência (didática).
A recorrência liga a_{n+2} a a_{n}. Logo a série se separa em duas sequências independentes: a dos coeficientes de índice par \{a_{0},a_{2},a_{4},\dots\} e a dos ímpares \{a_{1},a_{3},a_{5},\dots\}.
Se k é inteiro não-negativo, quando n=k o fator (n-k) zera a numerador, então a_{k+2}=0. A partir daí, usando a recorrência, todos os coeficientes seguintes da mesma paridade também serão zero: a série termina e produz um polinômio. É por isso que, para k inteiro não-negativo, obtém-se polinômios — são (uma normalização dos) polinômios de Hermite.
As condições iniciais dadas escolhem a normalização: para k par toma-se a_{0}=1,a_{1}=0; para k ímpar toma-se a_{0}=0,a_{1}=1. Essas escolhas garantem unicidade da solução polinomial H_{k}.
Passo 10
Calcular H_{k}(x) explicitamente para k=0,1,2,3,4,5. Vou aplicar a recorrência com as iniciais apropriadas.
Caso k=0 (par): tomar a_{0}=1, a_{1}=0.
Calcular a_{2} via a_{2}=\dfrac{2(0-0)}{2\cdot1}a_{0}=0. Assim todos os a_{2m}=0 para m\ge1. Logo
H_{0}(x)=1.
Caso k=1 (ímpar): tomar a_{0}=0, a_{1}=1.
Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-1)}{3\cdot2}a_{1}=0. Portanto
H_{1}(x)=x.
Passo 11
Continuar para k=2 e k=3.
Caso k=2 (par): a_{0}=1, a_{1}=0.
Calcular a_{2}=\dfrac{2(0-2)}{2\cdot1}a_{0}=\dfrac{2(-2)}{2}\cdot1=-2.
Em seguida a_{4}=\dfrac{2(2-2)}{4\cdot3}a_{2}=0, então a série termina. Logo
H_{2}(x)=1-2x^{2}.
Caso k=3 (ímpar): a_{0}=0, a_{1}=1.
Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-3)}{3\cdot2}a_{1}=\dfrac{2(-2)}{6}=-\dfrac{2}{3}.
Em seguida a_{5}=\dfrac{2(3-3)}{5\cdot4}a_{3}=0. Assim
H_{3}(x)=x-\dfrac{2}{3}x^{3}.
Passo 12
Calcular k=4 e k=5.
Caso k=4 (par): a_{0}=1, a_{1}=0.
Calcular a_{2}=\dfrac{2(0-4)}{2\cdot1}a_{0}=\dfrac{-8}{2}=-4.
Calcular a_{4}=\dfrac{2(2-4)}{4\cdot3}a_{2}=\dfrac{2(-2)}{12}\cdot(-4)=\dfrac{4}{3}.
Em seguida a_{6}=\dfrac{2(4-4)}{6\cdot5}a_{4}=0. Portanto
H_{4}(x)=1-4x^{2}+\dfrac{4}{3}x^{4}.
Caso k=5 (ímpar): a_{0}=0, a_{1}=1.
Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-5)}{3\cdot2}a_{1}=\dfrac{2(-4)}{6}=-\dfrac{4}{3}.
Calcular a_{5}=\dfrac{2(3-5)}{5\cdot4}a_{3}=\dfrac{2(-2)}{20}\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{15}.
Em seguida a_{7}=0. Assim