Usaremos a notação y(x) para indicar funções y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e y^{\prime}(x) suas derivadas com respeito a x.
(a) Considere a equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+x^{2} y=0
Determine uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
onde a_{n} são coeficientes reais com a_{0}=1.
(b) Na equação
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 k y=0,
a constante k assume valores inteiros maiores ou iguais a zero. Fixado k, existe uma solução H_{k}(x) tal que:
\begin{gathered} H_{k}(0)=1, \quad H_{k}^{\prime}(0)=0 \text { para } k \text { par } \\\ H_{k}(0)=0, \quad H_{k}^{\prime}(0)=1 \text { para } k \text { impar. } \end{gathered}
Determine H_{k}(x) para k=0,1,2,3,4,5.

Passo 1

O enunciado fornece duas equações diferenciais e pede soluções por série ou polinômios, com condições iniciais explícitas.
  • (a) A equação é
x^{2}y^{\prime\prime}+x y^{\prime}+x^{2}y=0.
Pede-se uma solução na forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
com a condição a_{0}=1.
  • (b) A equação é
y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2k y=0,
com k\in\{0,1,2,\dots\}. Para cada k existe uma solução H_{k}(x) normalizada pelas condições:
\begin{gathered} H_{k}(0)=1,\quad H_{k}^{\prime}(0)=0\quad\text{se \(k\) é par},\\[4pt] H_{k}(0)=0,\quad H_{k}^{\prime}(0)=1\quad\text{se \(k\) é ímpar}. \end{gathered}ééí
Pede-se determinar explicitamente H_{k}(x) para k=0,1,2,3,4,5.]

Passo 2

Método geral (explicação didática sobre séries de potências). Vou expandir a solução como série de potências em torno de x=0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Para usar isso numa equação diferencial, é preciso:
  • escrever y^{\prime} e y^{\prime\prime} como séries (derivando termo a termo),
  • substituir na equação,
  • ajustar índices para obter potências iguais de x,
  • igualar coeficientes de cada potência de x a zero e obter uma recorrência para os a_{n}.
Derivar termo a termo é permitido porque uma série de potências converge uniformemente em intervalos pequenos; na prática este procedimento produz as recorrências que determinam os coeficientes.

Passo 3

Resolver a parte (a): calcular derivadas e substituir.
  • Escrevendo as derivadas:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \qquad y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1}, \qquad y^{\prime\prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.
  • Substituindo em x^{2}y^{\prime\prime}+x y^{\prime}+x^{2}y=0:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+2} =0.

Passo 4

Agrupar termos em potências iguais de x.
  • Combinar as duas primeiras somas que já têm x^{n}:
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl(n(n-1)+n\bigr) a_{n} x^{n} + \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n} =0.
Nota que para n=0 e n=1 a expressão n(n-1)+n funciona corretamente (para n=0 0, para n=1 1).
  • Simplificar n(n-1)+n = n^{2}. Então
\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} a_{n} x^{n} + \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n} =0.
  • Escrever em uma única soma por potências x^{n}. Para n=0 e n=1 só aparece o primeiro somatório; para n\ge 2 aparecem os dois termos. Igualando coeficientes de x^{n} a zero obtemos:
\begin{cases} n=0: & 0^{2}a_{0}=0\quad(\text{sem nova informação})\\[4pt] n=1: & 1^{2} a_{1}=0\\ \Rightarrow\\ a_{1}=0\\[4pt] n\ge 2: & n^{2} a_{n} + a_{n-2}=0\\ \Rightarrow\\ a_{n} = -\dfrac{a_{n-2}}{n^{2}}. \end{cases}çã]

Passo 5

Interpretar a recorrência e calcular os primeiros coeficientes usando a_{0}=1.
  • Da recorrência a_{n} = -\dfrac{a_{n-2}}{n^{2}} segue que todos os termos de índice ímpar são nulos porque a_{1}=0 e a recorrência liga a_{n} a a_{n-2}. Assim a_{2m+1}=0 para todo m\ge 0.
  • Para os termos pares a_{2m} temos
a_{2} = -\frac{a_{0}}{2^{2}} = -\frac{1}{4}, \qquad a_{4} = -\frac{a_{2}}{4^{2}} = -\frac{-1/4}{16} = \frac{1}{64},
e em geral recursivamente
a_{2m} = -\frac{a_{2m-2}}{(2m)^{2}}.

Passo 6

Obter a fórmula fechada para a_{2m} por indução.
Conjectura (observando a sequência): para m\ge 0
a_{2m} = \frac{(-1)^{m}}{2^{2m} (m!)^{2}}.
Mostrar por indução rápida:
  • Caso base m=0: a_{0}=1 coincide com \dfrac{(-1)^{0}}{2^{0}(0!)^{2}}=1.
  • Passo indutivo: suponha verdadeiro para m-1. Então
a_{2m} = -\frac{a_{2m-2}}{(2m)^{2}} = -\frac{1}{(2m)^{2}}\cdot\frac{(-1)^{m-1}}{2^{2(m-1)}((m-1)!)^{2}} = \frac{(-1)^{m}}{2^{2m}(m!)^{2}},
pois (2m)^{2} = 2^{2}\,m^{2} e (m!)^{2}=m^{2}((m-1)!)^{2}. A indução funciona.

Passo 7

Escrever a solução em série (resultado final da parte (a)).
Como a_{2m+1}=0 e a_{2m} dado acima, a solução com a_{0}=1 é
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m} x^{2m} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{2^{2m} (m!)^{2}}\, x^{2m} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{(m!)^{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}.
Comentário curto e encorajador: esta é a série bem conhecida da função de Bessel de primeira espécie de ordem zero J_{0}(x). Bom trabalho até aqui!

Passo 8

Resolver a parte (b): montar a recorrência geral e interpretar.
  • Substituir y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} nas derivadas e na equação
y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2k y=0.
As derivadas como antes e, depois de ajustar índices, chega-se a
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl((n+2)(n+1)a_{n+2} + (2k-2n)a_{n}\bigr) x^{n}=0.
Igualando coeficientes de x^{n} a zero obtemos a recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (2k-2n)a_{n}=0,
ou seja
a_{n+2}=\frac{2(n-k)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.

Passo 9

Observações importantes sobre a recorrência (didática).
  • A recorrência liga a_{n+2} a a_{n}. Logo a série se separa em duas sequências independentes: a dos coeficientes de índice par \{a_{0},a_{2},a_{4},\dots\} e a dos ímpares \{a_{1},a_{3},a_{5},\dots\}.
  • Se k é inteiro não-negativo, quando n=k o fator (n-k) zera a numerador, então a_{k+2}=0. A partir daí, usando a recorrência, todos os coeficientes seguintes da mesma paridade também serão zero: a série termina e produz um polinômio. É por isso que, para k inteiro não-negativo, obtém-se polinômios — são (uma normalização dos) polinômios de Hermite.
  • As condições iniciais dadas escolhem a normalização: para k par toma-se a_{0}=1,a_{1}=0; para k ímpar toma-se a_{0}=0,a_{1}=1. Essas escolhas garantem unicidade da solução polinomial H_{k}.

Passo 10

Calcular H_{k}(x) explicitamente para k=0,1,2,3,4,5. Vou aplicar a recorrência com as iniciais apropriadas.
  • Caso k=0 (par): tomar a_{0}=1, a_{1}=0.
    Calcular a_{2} via a_{2}=\dfrac{2(0-0)}{2\cdot1}a_{0}=0. Assim todos os a_{2m}=0 para m\ge1. Logo
H_{0}(x)=1.
  • Caso k=1 (ímpar): tomar a_{0}=0, a_{1}=1.
    Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-1)}{3\cdot2}a_{1}=0. Portanto
H_{1}(x)=x.

Passo 11

Continuar para k=2 e k=3.
  • Caso k=2 (par): a_{0}=1, a_{1}=0.
    Calcular a_{2}=\dfrac{2(0-2)}{2\cdot1}a_{0}=\dfrac{2(-2)}{2}\cdot1=-2.
    Em seguida a_{4}=\dfrac{2(2-2)}{4\cdot3}a_{2}=0, então a série termina. Logo
H_{2}(x)=1-2x^{2}.
  • Caso k=3 (ímpar): a_{0}=0, a_{1}=1.
    Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-3)}{3\cdot2}a_{1}=\dfrac{2(-2)}{6}=-\dfrac{2}{3}.
    Em seguida a_{5}=\dfrac{2(3-3)}{5\cdot4}a_{3}=0. Assim
H_{3}(x)=x-\dfrac{2}{3}x^{3}.

Passo 12

Calcular k=4 e k=5.
  • Caso k=4 (par): a_{0}=1, a_{1}=0.
    Calcular a_{2}=\dfrac{2(0-4)}{2\cdot1}a_{0}=\dfrac{-8}{2}=-4.
    Calcular a_{4}=\dfrac{2(2-4)}{4\cdot3}a_{2}=\dfrac{2(-2)}{12}\cdot(-4)=\dfrac{4}{3}.
    Em seguida a_{6}=\dfrac{2(4-4)}{6\cdot5}a_{4}=0. Portanto
H_{4}(x)=1-4x^{2}+\dfrac{4}{3}x^{4}.
  • Caso k=5 (ímpar): a_{0}=0, a_{1}=1.
    Calcular a_{3}=\dfrac{2(1-5)}{3\cdot2}a_{1}=\dfrac{2(-4)}{6}=-\dfrac{4}{3}.
    Calcular a_{5}=\dfrac{2(3-5)}{5\cdot4}a_{3}=\dfrac{2(-2)}{20}\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{15}.
    Em seguida a_{7}=0. Assim
H_{5}(x)=x-\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{4}{15}x^{5}.

Resposta

(a) y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{2}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}.
(b) \begin{aligned} H_{0}(x)&=1,\\[4pt] H_{1}(x)&=x,\\[4pt] H_{2}(x)&=1-2x^{2},\\[4pt] H_{3}(x)&=x-\dfrac{2}{3}x^{3},\\[4pt] H_{4}(x)&=1-4x^{2}+\dfrac{4}{3}x^{4},\\[4pt] H_{5}(x)&=x-\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{4}{15}x^{5}. \end{aligned} </

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