O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções em forma de séries de potência em torno de um ponto x_{0}\) onde está definida a EDO:
\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0
Este método é útil quando Q(x) / P(x) e R(x) / P(x) não são analíticas em x_{0}, o que ocorre quando o ponto é singular.
Tomemos o exemplo:
2 x y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}-3 y=0
Note que x_{0}=0 é um ponto singular. Assumimos uma solução da forma:
Agora é a sua vez. Repita o processo para:
(c) (x^{2} y^{\prime \prime}-x y=0]
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do próprio enunciado):
A equação diferencial a analisar é x^{2}y^{\prime\prime}-x y=0.
O ponto de interesse é x_{0}=0, que é singular (pois os coeficientes divididos por x^{2} não são analíticos em 0 de forma regular).
Pede-se repetir o processo do método de Frobenius: assumir uma solução da forma \displaystyle y(x)=x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, obter a equação indicial, a relação de recorrência, construir as soluções independentes e dar a solução geral.
Passo 2
Assumimos a solução de Frobenius padrão em torno de x=0:
onde \tilde b_0=0 (pois o segundo somatório começa em j=1) e \tilde b_j=a_{j-1} para j\ge1. Assim, os coeficientes de cada potência x^{j+r} devem ser zero.
Passo 5
Coeficiente do menor expoente (termo dominante, que dá a equação indicial): olhar j=0.
Para j=0 obtemos
r(r-1)a_{0}=0.
Esta é a equação indicial \,F(r)=r(r-1)=0. Portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=0.
Passo 6
Para j\ge1 equacionamos os coeficientes e obtemos a relação de recorrência. Do coeficiente de x^{j+r}:
(j+r)(j+r-1)a_{j}-a_{j-1}=0.
Isolando a_{j}:
a_{j}=\frac{a_{j-1}}{(j+r)(j+r-1)},\qquad j\ge1.
Essa é a relação de recorrência geral válida para cada escolha de r.
Podemos escolher constante de normalização a_{0}=1 ou qualquer C_{1}. Concluímos que uma solução independente é
y_{1}(x)=\sqrt{x}\;I_{1}(2\sqrt{x}).
Passo 9
Sobre a segunda solução (caso r_{2}=0 e diferença de raízes inteira).
As raízes da indicial são 1 e 0 e a diferença r_{1}-r_{2}=1\in\mathbb{N}. Pelo teorema de Frobenius, quando a diferença das raízes é um inteiro pode aparecer um termo com \ln x na segunda solução ou uma solução singular do outro tipo.
Tentando diretamente r=0 na recorrência nota-se que o coeficiente do caso j=1 força a_{0}=0, de modo que a série pura com r=0 não gera uma segunda solução independente regular com a_{0}\neq0; isto indica que a segunda solução tem comportamento singular em x=0 (logarítmico) ou pertence à família das funções especiais.
Uma maneira prática e curta é usar redução de ordem a partir de y_{1} (fórmula padrão) ou identificar que a transformação t=2\sqrt{x} reduz a EDO para uma equação de Bessel modificada de ordem 1. A base de soluções da equação de Bessel modificada de ordem 1 é \{I_{1}(t),K_{1}(t)\}. Voltando à variável x (com t=2\sqrt{x}) obtemos a segunda solução independente
y_{2}(x)=\sqrt{x}\;K_{1}(2\sqrt{x}),
onde K_{1} é a função de Bessel modificada de segunda espécie (apresenta comportamento logarítmico em x\to0^{+} e, portanto, é independente de I_{1}). Assim y_{2} tem a forma prevista por Frobenius no caso de raízes com diferença inteira: envolve uma parte singular/logarítmica.
Passo 10
Conclusão: as duas soluções independentes (para x>0, por exemplo) são