O Método da Redução de Ordem também pode ser usado para a equação não-homogênea
se soubermos uma solução
de (1). Fazendo
, mostre que
é solução de (1) se
for uma solução de
A equação (2) é uma equação de primeira ordem na variável
. Resolvendo esta equação, integrando o resultado, e multiplicando por
, obtemos a equaçõa geral de (1). Nos itens abaixo, use este método para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(d)
(d)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- A equação diferencial dada é
- O enunciado já fornece uma solução conhecida da equação homogênea associada:
- A tarefa: usar o método da redução de ordem (com
) para obter a solução geral da equação não-homogênea.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente de
é (portanto a equação não está, inicialmente, na forma padrão ). - A função lado direito é
. - O intervalo
implica , o que facilita alguns sinais ao dividir por .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
.
Dividimos toda a equação por
(válido pois
em
):
Agora identificamos
Simplificamos
. Note que
. Assim
Passo 3
Aplicar a substituição
e obter a equação para
.
Calcule derivadas:
Substituindo na forma padrão
(com
encontrados) e simplificando por
obtemos (ou usar a fórmula dada no enunciado):
Dividindo por
:
Substituímos
e
. Primeiro calculemos
:
E
(usando
).
Portanto a equação para é
Portanto a equação para
Passo 4
Reduzir a ordem: definir
e resolver a primeira ordem para
.
Com
a equação vira
Isto é uma equação linear de primeira ordem na variável
:
com
e
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
usando fator integrante.
Primeiro simplificamos
. Observamos
pois
. Então o integral de
é
No intervalo
temos
, logo o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Assim
Simplificamos a expressão útilmente:
Passo 6
Integrar
para obter
. Integrar termo a termo.
Primeiro termo:
Calcule
:
Temos
. Para
use integração por partes: com
obtemos
e
Logo
Multiplicando por
obtemos a contribuição:
Segundo termo:
Calcule
:
Portanto a contribuição é
.
Somando e acrescentando constante de integração
temos
Passo 7
Voltar à variável original
e escrever a solução geral.
Multiplicando por
:
Renomeando constantes arbitrárias (por exemplo
e
) para a forma usual, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.