O Método da Redução de Ordem também pode ser usado para a equação não-homogênea
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t),se soubermos uma solução y_{1}(t) de (1). Fazendo y(t)=v(t) y_{1}(t), mostre que y é solução de (1) se v for uma solução de
y_{1}(t) v^{\prime \prime}+\left[2 y_{1}^{\prime}(t)+p(t) y_{1}(t)\right] v^{\prime}=g(t) .
A equação (2) é uma equação de primeira ordem na variável v^{\prime}. Resolvendo esta equação, integrando o resultado, e multiplicando por y_{1}(t), obtemos a equaçõa geral de (1). Nos itens abaixo, use este método para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(d) (1-t) y^{\prime \prime}+t y^{\prime}-y=2(t-1)^{2} e^{-t}, 0<t<1 ; y_{1}(t)=e^{t}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • A equação diferencial dada é
(1-t)\,y^{\prime\prime}+t\,y^{\prime}-y=2(t-1)^{2}e^{-t},\qquad 0<t<1.
  • O enunciado já fornece uma solução conhecida da equação homogênea associada:
y_{1}(t)=e^{t}.
  • A tarefa: usar o método da redução de ordem (com y(t)=v(t)y_{1}(t)) para obter a solução geral da equação não-homogênea.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente de y^{\prime\prime} é 1-t (portanto a equação não está, inicialmente, na forma padrão y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g(t)).
  • A função lado direito é 2(t-1)^{2}e^{-t}.
  • O intervalo 0<t<1 implica 1-t>0, o que facilita alguns sinais ao dividir por 1-t.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y^{\prime\prime}+p(t)y^{\prime}+q(t)y=g(t).
Dividimos toda a equação por 1-t (válido pois 1-t\neq0 em 0<t<1):
y^{\prime\prime}+\frac{t}{1-t}\,y^{\prime}-\frac{1}{1-t}\,y=\frac{2(t-1)^{2}}{1-t}e^{-t}.
Agora identificamos
p(t)=\frac{t}{1-t},\qquad q(t)=-\frac{1}{1-t},\qquad g(t)=\frac{2(t-1)^{2}}{1-t}e^{-t}.
Simplificamos g(t). Note que (t-1)^{2}/(1-t)=(t-1)\cdot\frac{t-1}{1-t}=(t-1)(-1)=-(t-1). Assim
g(t)=-2(t-1)e^{-t}.

Passo 3

Aplicar a substituição y(t)=v(t)y_{1}(t)=v(t)e^{t} e obter a equação para v.
Calcule derivadas:
y=v e^{t},\qquad y' = v'e^{t}+v e^{t},\qquad y''=v''e^{t}+2v'e^{t}+v e^{t}.
Substituindo na forma padrão y''+p\,y'+q\,y=g (com p,q,g encontrados) e simplificando por e^{t} obtemos (ou usar a fórmula dada no enunciado):
e^{t}v''+\big(2e^{t}+p e^{t}\big)v'=g.
Dividindo por e^{t}:
v''+(2+p)v'=\frac{g}{e^{t}}.
Substituímos p(t)=\dfrac{t}{1-t} e g(t)=-2(t-1)e^{-t}. Primeiro calculemos 2+p:
2+p=2+\frac{t}{1-t}=\frac{2(1-t)+t}{1-t}=\frac{2-t}{1-t}.
E \dfrac{g}{e^{t}}=\dfrac{-2(t-1)e^{-t}}{e^{t}}=-2(t-1)e^{-2t}=2(1-t)e^{-2t} (usando t-1=-(1-t)).
Portanto a equação para v é
v''+\frac{2-t}{1-t}\,v'=2(1-t)e^{-2t}.

Passo 4

Reduzir a ordem: definir w(t)=v'(t) e resolver a primeira ordem para w.
Com w=v' a equação vira
w'+\frac{2-t}{1-t}\,w=2(1-t)e^{-2t}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na variável w:
w'+A(t)w=B(t),
com A(t)=\dfrac{2-t}{1-t} e B(t)=2(1-t)e^{-2t}.

Passo 5

Resolver a equação linear para w usando fator integrante.
Primeiro simplificamos A(t). Observamos
\frac{2-t}{1-t}=1+\frac{1}{1-t},
pois 2-t=(1-t)+1. Então o integral de A é
\int A(t)\,dt=\int\left(1+\frac{1}{1-t}\right)dt=t-\ln|1-t|.
No intervalo 0<t<1 temos 1-t>0, logo o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\big(t-\ln(1-t)\big)=\frac{e^{t}}{1-t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\left(\frac{e^{t}}{1-t}w\right)'=\frac{e^{t}}{1-t}\cdot 2(1-t)e^{-2t}=2e^{-t}.
Integrando ambos os lados:
\frac{e^{t}}{1-t}w=\int 2e^{-t}\,dt=-2e^{-t}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Assim
w=v'=\left(-2e^{-t}+C_{1}\right)\frac{1-t}{e^{t}}=(1-t)\big(-2e^{-2t}+C_{1}e^{-t}\big).
Simplificamos a expressão útilmente:
v'=-2(1-t)e^{-2t}+C_{1}(1-t)e^{-t}.

Passo 6

Integrar w=v' para obter v. Integrar termo a termo.
Primeiro termo:
\int -2(1-t)e^{-2t}\,dt=-2\int(1-t)e^{-2t}\,dt.
Calcule \int(1-t)e^{-2t}\,dt:
\int(1-t)e^{-2t}\,dt=\int e^{-2t}\,dt-\int t e^{-2t}\,dt.
Temos \int e^{-2t}\,dt=-\tfrac{1}{2}e^{-2t}. Para \int t e^{-2t}\,dt use integração por partes: com u=t,\\ dv=e^{-2t}dt obtemos v=-\tfrac{1}{2}e^{-2t} e
\int t e^{-2t}\,dt=-\frac{t}{2}e^{-2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}.
Logo
\int(1-t)e^{-2t}\,dt=\left(-\frac{1}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-2t}=\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\right)e^{-2t}.
Multiplicando por -2 obtemos a contribuição:
-2\int(1-t)e^{-2t}\,dt=-t e^{-2t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Segundo termo:
\int C_{1}(1-t)e^{-t}\,dt=C_{1}\int(1-t)e^{-t}\,dt.
Calcule \int(1-t)e^{-t}\,dt:
\int(1-t)e^{-t}\,dt=\int e^{-t}\,dt-\int t e^{-t}\,dt=-e^{-t}-\big(- (t+1)e^{-t}\big)=t e^{-t}.
Portanto a contribuição é C_{1} t e^{-t}.
Somando e acrescentando constante de integração C_{2} temos
v(t)=\left(\tfrac{1}{2}-t\right)e^{-2t}+C_{1} t e^{-t}+C_{2}.

Passo 7

Voltar à variável original y=v e^{t} e escrever a solução geral.
Multiplicando por e^{t}:
y(t)=v(t)e^{t}=\left(\tfrac{1}{2}-t\right)e^{-t}+C_{1} t + C_{2}e^{t}.
Renomeando constantes arbitrárias (por exemplo C_{2}=C_{1}^{*} e C_{1}=C_{2}^{*}) para a forma usual, a solução geral é
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t+\left(\tfrac{1}{2}-t\right)e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t+\left(\tfrac{1}{2}-t\right)e^{-t}.

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