Mostre que as funções y_{1} e y_{2} são soluções da correspondente equação homogênea, e encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
(f) 4 x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-1\right) y=12 x^{\frac{3}{2}} \operatorname{sen} x, x>0 ; y_{1}(x)=x^{-\frac{1}{2}} \operatorname{sen} x, y_{2}(x)=x^{-\frac{1}{2}} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4x^{2}y''+4x y'+(4x^{2}-1)y=12x^{3/2}\sin x,\qquad x>0,
e as duas funções
y_{1}(x)=x^{-1/2}\sin x,\qquad y_{2}(x)=x^{-1/2}\cos x.
O que é pedido:
  • Mostrar que y_{1} e y_{2} são soluções da equação homogênea correspondente (ou seja, da equação com o lado direito igual a zero).
  • Encontrar uma solução particular da equação não-homogênea dada.
Informações relevantes extraídas:
  • A equação pode ser colocada na forma padrão dividindo por 4x^{2}.
  • Foram fornecidas duas soluções candidatas da homogênea; portanto podemos usar variação de parâmetros para achar uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Verificar que y_{1}(x)=x^{-1/2}\sin x satisfaz a equação homogênea. Primeiro calcule as derivadas (faça devagar; produto e regra da potência):
y_{1}(x)=x^{-1/2}\sin x.
Derivando,
y_{1}'(x)=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x + x^{-1/2}\cos x,
y_{1}''(x)=\tfrac{3}{4}x^{-5/2}\sin x - x^{-3/2}\cos x -\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x.
Juntando termos semelhantes em y_{1}'' (organizando potências de x):
y_{1}''(x)=\tfrac{3}{4}x^{-5/2}\sin x -\tfrac{3}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x.
Agora substitui y_{1},y_{1}',y_{1}'' em 4x^{2}y''+4x y'+(4x^{2}-1)y. Calcule termo a termo (mostrar simplificação):
  • 4x^{2}y_{1}''=4x^{2}\big(\tfrac{3}{4}x^{-5/2}\sin x -\tfrac{3}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x\big)
=3x^{-1/2}\sin x -6x^{1/2}\cos x -4x^{3/2}\sin x.
  • 4x y_{1}'=4x\big(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x + x^{-1/2}\cos x\big)=-2x^{-1/2}\sin x +4x^{1/2}\cos x.
  • (4x^{2}-1)y_{1}=(4x^{2}-1)x^{-1/2}\sin x=4x^{3/2}\sin x - x^{-1/2}\sin x.
Somando os três blocos:
(4x^{2}y_{1}'' )+(4x y_{1}') + ((4x^{2}-1)y_{1})= (3x^{-1/2}\sin x -6x^{1/2}\cos x -4x^{3/2}\sin x) +(-2x^{-1/2}\sin x +4x^{1/2}\cos x) +(4x^{3/2}\sin x - x^{-1/2}\sin x).
Agrupando termos semelhantes nota-se que os termos em x^{3/2}\sin x e em x^{1/2}\cos x e em x^{-1/2}\sin x cancelam, ficando zero. Portanto
4x^{2}y_{1}''+4x y_{1}'+(4x^{2}-1)y_{1}=0,
logo y_{1} é solução da homogênea.

Passo 3

Verificar que y_{2}(x)=x^{-1/2}\cos x é solução da homogênea. Calcule derivadas:
y_{2}(x)=x^{-1/2}\cos x,
y_{2}'(x)=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x,
y_{2}''(x)=\tfrac{3}{4}x^{-5/2}\cos x + x^{-3/2}\sin x -\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x - x^{-1/2}\cos x.
Simplificando,
y_{2}''(x)=\tfrac{3}{4}x^{-5/2}\cos x +\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x - x^{-1/2}\cos x.
Substituindo em 4x^{2}y''+4x y'+(4x^{2}-1)y e procedendo com a soma dos três blocos, os termos cancelam exatamente (mesma estrutura que para y_{1}), resultando em zero. Assim
4x^{2}y_{2}''+4x y_{2}'+(4x^{2}-1)y_{2}=0,
logo y_{2} também é solução da homogênea.

Passo 4

Agora achamos uma solução particular da equação não-homogênea. Primeiro escrevemos a equação na forma padrão dividindo por 4x^{2}:
y''+\frac{1}{x}y'+\Big(1-\frac{1}{4x^{2}}\Big)y = 3x^{-1/2}\sin x.
Denotar o lado direito por g(x)=3x^{-1/2}\sin x. Como temos duas soluções fundamentais y_{1},y_{2}, usamos variação de parâmetros. Para aplicar, precisamos do wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Calcule explicitamente (usar as derivadas do Passo 2 e 3):
W(x) = x^{-1/2}\sin x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\cos x - x^{-1/2}\sin x\big) - \big(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\sin x + x^{-1/2}\cos x\big)\cdot x^{-1/2}\cos x.
Ao expandir e simplificar (os termos com x^{-2}\sin x\cos x se cancelam) obtém-se
W(x)=-x^{-1}.

Passo 5

As fórmulas da variação de parâmetros dão
u_{1}'(x) = -\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x) = \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}.
Calcule os numeradores e divida por W=-x^{-1}:
\frac{y_{2}g}{W}=\frac{x^{-1/2}\cos x\cdot 3x^{-1/2}\sin x}{-x^{-1}}=-3\sin x\cos x,
\frac{y_{1}g}{W}=\frac{x^{-1/2}\sin x\cdot 3x^{-1/2}\sin x}{-x^{-1}}=-3\sin^{2}x.
Logo
u_{1}'(x) = -\big(-3\sin x\cos x\big)=3\sin x\cos x, \qquad u_{2}'(x) = -3\sin^{2}x.
Integramos (podemos escolher constantes de integração iguais a zero porque elas correspondem a termos da homogênea):
u_{1}(x)=\int 3\sin x\cos x\,dx = \tfrac{3}{2}\int \sin 2x\,dx = -\tfrac{3}{4}\cos 2x,
u_{2}(x)=\int -3\sin^{2}x\,dx = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{4}\sin 2x.

Passo 6

A solução particular dada pela variação de parâmetros é
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p} = \Big(-\tfrac{3}{4}\cos 2x\Big)\cdot x^{-1/2}\sin x + \Big(-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}\sin 2x\Big)\cdot x^{-1/2}\cos x.
Agrupando e usando a identidade trigonométrica \sin2x\cos x-\cos2x\sin x=\sin x obtém-se (após simplificação algébrica)
y_{p}= -\tfrac{3}{2}x^{1/2}\cos x + \tfrac{3}{4}x^{-1/2}\sin x.
Note que o termo \tfrac{3}{4}x^{-1/2}\sin x é proporcional a y_{1}, ou seja é uma combinação da solução homogênea; podemos eliminar esse termo somando uma combinação apropriada das soluções homogêneas (isto não altera o fato de ser solução particular). Assim podemos escolher como forma mais simples da solução particular
\boxed{y_{p}(x)=-\tfrac{3}{2}x^{1/2}\cos x.}
(Verificação direta: substituindo este y_{p} na equação original obtém-se 12x^{3/2}\sin x, portanto é solução particular.)

Resposta

y_{1}(x)=x^{-1/2}\sin x e y_{2}(x)=x^{-1/2}\cos x são soluções da equação homogênea.
Uma solução particular da equação não-homogênea é \displaystyle y_{p}(x)=-\tfrac{3}{2}x^{1/2}\cos x.

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