Com o Método de Variação de Parâmetros (MVP), encontre as soluções gerais das seguintes EDO’s:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 x^{2}-1, x>0, y_{1}(x)=x^{2}, y_{2}(x)=x^{-1}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • EDO: x^{2}y''-2y=3x^{2}-1 para x>0.
  • Duas soluções fundamentais da equação homogênea associada: y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{-1}.
  • Pede-se encontrar a solução geral da EDO usando o Método de Variação de Parâmetros (MVP).
Informações relevantes dadas:
  • A equação não está ainda na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).
  • As funções y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea (funções independentes linearmente).
  • O objetivo é obter uma solução particular y_{p} por variação de parâmetros e então a solução geral y=y_{h}+y_{p}.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (dividir por x^{2}, que é permitido pois x>0):
y''-\frac{2}{x^{2}}y=3-\frac{1}{x^{2}}.
Aqui identificamos:
  • p(x)=0,
  • q(x)=-\dfrac{2}{x^{2}},
  • g(x)=3-\dfrac{1}{x^{2}}.
Explicação didática: para aplicar MVP precisamos que a EDO esteja na forma em que o coeficiente de y'' seja 1. Ao dividir por x^{2} transformamos a equação original nessa forma, e passamos a trabalhar com a função forçante g(x) que aparece à direita.

Passo 3

Verificar rapidamente que y_{1} e y_{2} realmente resolvem a homogênea:
  • Para y_{1}(x)=x^{2}: y_{1}''=2. Substituindo na homogênea y''-\dfrac{2}{x^{2}}y=0:
2-\frac{2}{x^{2}}\cdot x^{2}=2-2=0.
  • Para y_{2}(x)=x^{-1}: y_{2}'=-x^{-2}, y_{2}''=2x^{-3}. Substituindo:
2x^{-3}-\frac{2}{x^{2}}\cdot x^{-1}=2x^{-3}-2x^{-3}=0.
Portanto y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea.
Didática: sempre é bom confirmar que as funções dadas são de fato uma base de soluções da homogênea antes de aplicar MVP.

Passo 4

Apresentar a ideia do Método de Variação de Parâmetros:
  • Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar.
  • Impomos a condição auxiliar (padrão no método) para simplificar as equações:
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.
  • E a segunda equação vem de substituir y_{p} na EDO padrão, resultando em
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x).
Assim temos um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'.
Didática: o motivo da condição u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0 é reduzir a ordem das derivadas de u_1,u_2 que aparecem ao derivar y_p, facilitando a obtenção de um sistema de 1ª ordem para u_1',u_2'.

Passo 5

Calcular o Wronskiano W das soluções y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Com y_{1}=x^{2}, y_{1}'=2x; y_{2}=x^{-1}, y_{2}'=-x^{-2}:
W = x^{2}(-x^{-2}) - (2x)(x^{-1}) = -1 - 2 = -3.
Observação: o Wronskiano é constante e igual a -3, portanto diferente de zero, o que confirma independência linear das soluções.

Passo 6

Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}'. Fórmulas padrão (quando a EDO está na forma com coeficiente de y'' igual a 1):
u_{1}' = -\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}' = \frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Substituindo g(x)=3-\dfrac{1}{x^{2}}, y_{1}=x^{2}, y_{2}=x^{-1}, W=-3:
Calcular u_{1}':
u_{1}' = -\frac{\left(3-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\!x^{-1}}{-3} = \frac{1}{3}\left(3x^{-1}-x^{-3}\right) = x^{-1}-\frac{1}{3}x^{-3}.
Calcular u_{2}':
u_{2}' = \frac{\left(3-\dfrac{1}{x^{2}}\right)\!x^{2}}{-3} = -\frac{1}{3}\left(3x^{2}-1\right) = -x^{2}+\frac{1}{3}.
Didática: fiz-se a simplificação passo a passo para evitar erros com potências de x. Note que as expressões ficaram simples o que facilita a integração.

Passo 7

Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}.
Integrando u_{1}':
u_{1}=\int\left(x^{-1}-\frac{1}{3}x^{-3}\right)dx =\int x^{-1}dx -\frac{1}{3}\int x^{-3}dx.
Calcule cada integral:
\int x^{-1}dx=\ln x,\qquad \int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Logo
u_{1}=\ln x -\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right)=\ln x+\frac{1}{6}x^{-2}+C_{1}.
Integrando u_{2}':
u_{2}=\int\left(-x^{2}+\frac{1}{3}\right)dx =-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}+C_{2}.
Didática: as constantes de integração C_{1},C_{2} podem ser tomadas zero ao construir uma solução particular, pois termos constantes em u_{1},u_{2} gerariam componentes que já pertencem ao espaço das soluções homogêneas.

Passo 8

Escolher C_{1}=C_{2}=0 para obter uma solução particular e formar y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Calcular u_{1}y_{1}:
u_{1}y_{1}=\left(\ln x+\frac{1}{6}x^{-2}\right)x^{2}=x^{2}\ln x+\frac{1}{6}.
Calcular u_{2}y_{2}:
u_{2}y_{2}=\left(-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x}{3}\right)x^{-1}=-\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{3}.
Somando:
y_{p}=x^{2}\ln x+\frac{1}{6}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{3} = x^{2}\ln x -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}.
Didática: ao somar constantes \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}. Separou-se claramente a parte com x^{2}\ln x e os polinomiais para facilitar a simplificação.

Passo 9

Escrever a solução geral da EDO como soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}+y_{p}(x).
Substituindo y_{p}:
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}+x^{2}\ln x-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}.
Observação útil: o termo -\dfrac{1}{3}x^{2} pode ser absorvido em C_{1}x^{2} definindo uma nova constante C_{1}^{*}=C_{1}-\dfrac{1}{3}. Assim uma forma mais simples da solução geral é
y(x)=\widetilde{C}_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}+x^{2}\ln x+\frac{1}{2},
onde \widetilde{C}_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Encorajamento: isso ficou bem direto porque o Wronskiano foi constante; em provas, reconhecer soluções fundamentais e calcular o Wronskiano costuma agilizar muito o MVP.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}+x^{2}\ln x+\frac{1}{2}

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