Com o Método de Variação de Parâmetros (MVP), encontre as soluções gerais das seguintes EDO’s: x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 x^{2}-1, x>0, y_{1}(x)=x^{2}, y_{2}(x)=x^{-1}
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
EDO: x^{2}y''-2y=3x^{2}-1 para x>0.
Duas soluções fundamentais da equação homogênea associada: y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{-1}.
Pede-se encontrar a solução geral da EDO usando o Método de Variação de Parâmetros (MVP).
Informações relevantes dadas:
A equação não está ainda na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).
As funções y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea (funções independentes linearmente).
O objetivo é obter uma solução particular y_{p} por variação de parâmetros e então a solução geral y=y_{h}+y_{p}.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão (dividir por x^{2}, que é permitido pois x>0):
y''-\frac{2}{x^{2}}y=3-\frac{1}{x^{2}}.
Aqui identificamos:
p(x)=0,
q(x)=-\dfrac{2}{x^{2}},
g(x)=3-\dfrac{1}{x^{2}}.
Explicação didática: para aplicar MVP precisamos que a EDO esteja na forma em que o coeficiente de y'' seja 1. Ao dividir por x^{2} transformamos a equação original nessa forma, e passamos a trabalhar com a função forçante g(x) que aparece à direita.
Passo 3
Verificar rapidamente que y_{1} e y_{2} realmente resolvem a homogênea:
Para y_{1}(x)=x^{2}: y_{1}''=2. Substituindo na homogênea y''-\dfrac{2}{x^{2}}y=0:
2-\frac{2}{x^{2}}\cdot x^{2}=2-2=0.
Para y_{2}(x)=x^{-1}: y_{2}'=-x^{-2}, y_{2}''=2x^{-3}. Substituindo:
Didática: sempre é bom confirmar que as funções dadas são de fato uma base de soluções da homogênea antes de aplicar MVP.
Passo 4
Apresentar a ideia do Método de Variação de Parâmetros:
Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar.
Impomos a condição auxiliar (padrão no método) para simplificar as equações:
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.
E a segunda equação vem de substituir y_{p} na EDO padrão, resultando em
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x).
Assim temos um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'.
Didática: o motivo da condição u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0 é reduzir a ordem das derivadas de u_1,u_2 que aparecem ao derivar y_p, facilitando a obtenção de um sistema de 1ª ordem para u_1',u_2'.
Didática: fiz-se a simplificação passo a passo para evitar erros com potências de x. Note que as expressões ficaram simples o que facilita a integração.
Passo 7
Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}.
Didática: as constantes de integração C_{1},C_{2} podem ser tomadas zero ao construir uma solução particular, pois termos constantes em u_{1},u_{2} gerariam componentes que já pertencem ao espaço das soluções homogêneas.
Passo 8
Escolher C_{1}=C_{2}=0 para obter uma solução particular e formar y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
y_{p}=x^{2}\ln x+\frac{1}{6}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{3} = x^{2}\ln x -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}.
Didática: ao somar constantes \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}. Separou-se claramente a parte com x^{2}\ln x e os polinomiais para facilitar a simplificação.
Passo 9
Escrever a solução geral da EDO como soma da solução homogênea com a particular:
Observação útil: o termo -\dfrac{1}{3}x^{2} pode ser absorvido em C_{1}x^{2} definindo uma nova constante C_{1}^{*}=C_{1}-\dfrac{1}{3}. Assim uma forma mais simples da solução geral é
onde \widetilde{C}_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Encorajamento: isso ficou bem direto porque o Wronskiano foi constante; em provas, reconhecer soluções fundamentais e calcular o Wronskiano costuma agilizar muito o MVP.