(1,5 pontos) Calcule o comprimento de arco da curva
sent
, em que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica (peguei a função do enunciado):
no intervalo
O que é pedido: calcular o comprimento de arco da curva no intervalo dado, isto é, encontrar o valor numérico do comprimento total percorrido por
quando
varia de
até
.
Passo 2
Recordando a fórmula prática para comprimento de arco: se
é uma curva diferenciável, o comprimento
no intervalo
é dado por
onde
é a derivada vetorial e
é a norma (comprimento) do vetor. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente (regra básica: derivada de cada componente):
Pequena explicação: derivada de
é
, de
é
, e de
é
.
Passo 4
Agora calculamos a norma
. A norma de um vetor
é
. Então
Usando a identidade trigonométrica
, agrupamos:
Logo
Observação: o comprimento do vetor derivada saiu constante — isso facilita muito a integral.
Passo 5
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Como
é constante: