(1,5 pontos) Calcule o comprimento de arco da curva \vec{r}(t)=<2 \cos t, t, 2 sent >, em que -2 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica (peguei a função do enunciado):
\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,\; t,\; 2\sin t\rangle
no intervalo
-2 \le t \le 2.
O que é pedido: calcular o comprimento de arco da curva no intervalo dado, isto é, encontrar o valor numérico do comprimento total percorrido por \vec{r}(t) quando t varia de -2 até 2.

Passo 2

Recordando a fórmula prática para comprimento de arco: se \vec{r}(t) é uma curva diferenciável, o comprimento L no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\vec{r}\,'(t)\|\;dt,
onde \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Aqui a=-2 e b=2.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente (regra básica: derivada de cada componente):
\vec{r}\,'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(2\cos t),\; \frac{d}{dt}(t),\; \frac{d}{dt}(2\sin t)\right\rangle =\langle -2\sin t,\; 1,\; 2\cos t\rangle.
Pequena explicação: derivada de \cos t é -\sin t, de \sin t é \cos t, e de t é 1.

Passo 4

Agora calculamos a norma \|\vec{r}\,'(t)\|. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Então
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{(-2\sin t)^2 + 1^2 + (2\cos t)^2} =\sqrt{4\sin^2 t + 1 + 4\cos^2 t}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t + \cos^2 t = 1, agrupamos:
4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4(\sin^2 t + \cos^2 t)=4.
Logo
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Observação: o comprimento do vetor derivada saiu constante — isso facilita muito a integral.

Passo 5

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L=\int_{-2}^{2}\|\vec{r}\,'(t)\|\;dt=\int_{-2}^{2}\sqrt{5}\;dt.
Como \sqrt{5} é constante:
L=\sqrt{5}\int_{-2}^{2}dt=\sqrt{5}\,[t]_{-2}^{2}=\sqrt{5}\,(2-(-2))=\sqrt{5}\cdot 4.

Resposta

4\sqrt{5}

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