(1,5 pontos) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial
sent
. Indique pelo menos 6 pontos da curva para alguns valores de
e indique com setas a direção na qual o parâmentro
cresce.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação vetorial da curva (peguei isso do enunciado):
O que o problema pede:
- Esboçar (desenhar à mão) o gráfico dessa curva no espaço 3D.
- Indicar pelo menos seis pontos da curva para alguns valores de
. - Indicar com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 2
Entendendo cada componente da curva (aqui explico o que é cada parte da notação):
- A notação
significa que as coordenadas do ponto na curva dependem de . - No caso temos
Ou seja, para cada valor de a curva dá o ponto . - Observação simples:
varia livremente (todos os reais), então a curva existe para todo e é infinita no sentido do eixo .
Passo 3
Caracterizando geometricamente (a ideia para o esboço):
- As coordenadas
e formam um círculo quando consideradas juntas: . Isso satisfaz portanto a projeção da curva no plano é o círculo de raio centrado na origem. - A coordenada
sobe linearmente com . Juntando os dois fatos: ao girar ao redor do círculo em , o ponto sobe (ou desce) ao longo do eixo . Isso descreve uma hélice (uma “espiral 3D”) com raio e avanço vertical por volta. - Definição útil: o avanço vertical por uma volta completa (quando
aumenta de a ) é . Esse número é chamado de passo (pitch) da hélice: a cada volta completa em torno do eixo, aumenta em .
Passo 4
Direção do movimento quando
cresce (como indicar com setas):
- Quando
aumenta, aumenta (vai para cima no eixo ). - No plano
, o ângulo do ponto medido a partir do eixo é exatamente (pois ). Logo, conforme cresce a projeção gira no sentido anti-horário quando olhamos do eixo positivo para a origem (ou seja, visto de cima do eixo apontando para baixo, a rotação é anti-horária). - Conclusão prática para o desenho: as setas na hélice devem apontar para cima (aumentando
) e acompanhando a rotação anti-horária na projeção .
Passo 5
Derivada (vetor tangente) — útil para entender a orientação e a “inclinação” local:
- Calculemos
para ver a direção instantânea do movimento: Aqui cada componente é a taxa de variação daquela coordenada com relação a : é , é , é . - Observação prática: a componente
confirma que sempre aumenta quando cresce, então a hélice sobe continuamente.
Passo 6
Pelo menos 6 pontos da curva para valores de
(mostro os cálculos para cada ponto, para você marcar no esboço):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Esses seis pontos são suficientes para posicionar pelo menos uma volta completa e ver a tendência vertical (subida) da hélice.
Passo 7
Como fazer o esboço à mão, passo a passo (truque prático que funciona na prova):
- Desenhe um eixo vertical e rotule como
. Desenhe dois eixos horizontais perpendiculares entre si e rotule um como e outro como (formando um sistema 3D). - No plano horizontal
desenhe o círculo de raio (centro na origem). Esse é a projeção da hélice no chão. - Marque no eixo
os valores (ou pelo menos alguns destes). Em cada altura desenhe o ponto correspondente na circunferência do passo 2: - Em
coloque o ponto . - Em
coloque o ponto . - Em
coloque o ponto . - E assim por diante.
- Em
- Una suavemente esses pontos seguindo a ordem dos
crescentes (isto é, conecte → → → → → ). A curva resultante é uma espiral que sobe: a hélice. - Coloque setas ao longo da curva apontando na direção dos
crescentes (setas apontando para cima e girando anti-horário na projeção ). - Dica: se estiver com dificuldade de visualizar em 3D, faça duas vistas auxiliares: a projeção superior (plano
, círculo com marcações angulares) e a projeção lateral (por exemplo ou ), onde a hélice aparece como uma curva senoidal/ondulada subindo. Essas duas vistas ajudam a construir o esboço 3D corretamente.
Passo 8
Resumo e cheirinho final de confiança:
- A curva é uma hélice de raio
cujo eixo é o eixo , sobe quando aumenta e dá uma volta completa quando aumenta de . - Marquei seis pontos e mostrei como conectar e colocar as setas de direção. Vai tranquilo: desenhe o círculo de base, marque alturas e conecte em espiral — funciona sempre.
Resposta
Pontos (pelo menos 6):\n
Direção: