(1,5 pontos) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial \vec{r}(t)=<2 \cos t, t, 2 sent >. Indique pelo menos 6 pontos da curva para alguns valores de t e indique com setas a direção na qual o parâmentro t cresce.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação vetorial da curva (peguei isso do enunciado):
\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,\; t,\; 2\sin t\rangle.
O que o problema pede:
  • Esboçar (desenhar à mão) o gráfico dessa curva no espaço 3D.
  • Indicar pelo menos seis pontos da curva para alguns valores de t.
  • Indicar com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

Passo 2

Entendendo cada componente da curva (aqui explico o que é cada parte da notação):
  • A notação \vec{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle significa que as coordenadas do ponto na curva dependem de t.
  • No caso temos x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=t,\qquad z(t)=2\sin t.Ou seja, para cada valor de t\in\mathbb{R} a curva dá o ponto (x,y,z)=(2\cos t,\; t,\; 2\sin t).
  • Observação simples: t varia livremente (todos os reais), então a curva existe para todo t e é infinita no sentido do eixo y.

Passo 3

Caracterizando geometricamente (a ideia para o esboço):
  • As coordenadas x(t) e z(t) formam um círculo quando consideradas juntas: (x,z)=(2\cos t,\,2\sin t). Isso satisfaz x(t)^2+z(t)^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^2 t+\sin^2 t)=4,portanto a projeção da curva no plano x\!z é o círculo de raio 2 centrado na origem.
  • A coordenada y(t)=t sobe linearmente com t. Juntando os dois fatos: ao girar ao redor do círculo em x\!z, o ponto sobe (ou desce) ao longo do eixo y. Isso descreve uma hélice (uma “espiral 3D”) com raio 2 e avanço vertical por volta.
  • Definição útil: o avanço vertical por uma volta completa (quando t aumenta de 0 a 2\pi) é \Delta y=2\pi. Esse número é chamado de passo (pitch) da hélice: a cada volta completa em torno do eixo, y aumenta em 2\pi.

Passo 4

Direção do movimento quando t cresce (como indicar com setas):
  • Quando t aumenta, y aumenta (vai para cima no eixo y).
  • No plano x\!z, o ângulo do ponto medido a partir do eixo x é exatamente t (pois (x,z)=(2\cos t,2\sin t)). Logo, conforme t cresce a projeção gira no sentido anti-horário quando olhamos do eixo y positivo para a origem (ou seja, visto de cima do eixo y apontando para baixo, a rotação é anti-horária).
  • Conclusão prática para o desenho: as setas na hélice devem apontar para cima (aumentando y) e acompanhando a rotação anti-horária na projeção x\!z.

Passo 5

Derivada (vetor tangente) — útil para entender a orientação e a “inclinação” local:
  • Calculemos \vec{r}\,'(t) para ver a direção instantânea do movimento: \vec{r}\,'(t)=\langle -2\sin t,\; 1,\; 2\cos t\rangle.Aqui cada componente é a taxa de variação daquela coordenada com relação a t: -2\sin t é dx/dt, 1 é dy/dt, 2\cos t é dz/dt.
  • Observação prática: a componente dy/dt=1>0 confirma que y sempre aumenta quando t cresce, então a hélice sobe continuamente.

Passo 6

Pelo menos 6 pontos da curva para valores de t (mostro os cálculos para cada ponto, para você marcar no esboço):
  • Para t=0: \vec{r}(0)=\langle 2\cos 0,\;0,\;2\sin 0\rangle=\langle 2,\;0,\;0\rangle.
  • Para t=\dfrac{\pi}{2}: \vec{r}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\Big\langle 2\cos\!\dfrac{\pi}{2},\;\dfrac{\pi}{2},\;2\sin\!\dfrac{\pi}{2}\Big\rangle=\Big\langle 0,\;\dfrac{\pi}{2},\;2\Big\rangle.
  • Para t=\pi: \vec{r}(\pi)=\langle 2\cos\pi,\;\pi,\;2\sin\pi\rangle=\langle -2,\;\pi,\;0\rangle.
  • Para t=\dfrac{3\pi}{2}: \vec{r}\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\Big\langle 0,\;\dfrac{3\pi}{2},\;-2\Big\rangle.
  • Para t=2\pi: \vec{r}(2\pi)=\langle 2,\;2\pi,\;0\rangle.
  • Para t=-\dfrac{\pi}{2}: \vec{r}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\Big\langle 0,\;-\dfrac{\pi}{2},\;-2\Big\rangle.
Esses seis pontos são suficientes para posicionar pelo menos uma volta completa e ver a tendência vertical (subida) da hélice.

Passo 7

Como fazer o esboço à mão, passo a passo (truque prático que funciona na prova):
  1. Desenhe um eixo vertical e rotule como y. Desenhe dois eixos horizontais perpendiculares entre si e rotule um como x e outro como z (formando um sistema 3D).
  2. No plano horizontal x\!z desenhe o círculo de raio 2 (centro na origem). Esse é a projeção da hélice no chão.
  3. Marque no eixo y os valores y= -\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi (ou pelo menos alguns destes). Em cada altura y=t desenhe o ponto correspondente na circunferência do passo 2:
    • Em y=0 coloque o ponto (2,0,0).
    • Em y=\tfrac{\pi}{2} coloque o ponto (0,\tfrac{\pi}{2},2).
    • Em y=\pi coloque o ponto (-2,\pi,0).
    • E assim por diante.
  4. Una suavemente esses pontos seguindo a ordem dos t crescentes (isto é, conecte t=-\tfrac{\pi}{2} t=0 t=\tfrac{\pi}{2} t=\pi t=\tfrac{3\pi}{2} t=2\pi). A curva resultante é uma espiral que sobe: a hélice.
  5. Coloque setas ao longo da curva apontando na direção dos t crescentes (setas apontando para cima e girando anti-horário na projeção x\!z).
  6. Dica: se estiver com dificuldade de visualizar em 3D, faça duas vistas auxiliares: a projeção superior (plano x\!z, círculo com marcações angulares) e a projeção lateral (por exemplo x\!y ou z\!y), onde a hélice aparece como uma curva senoidal/ondulada subindo. Essas duas vistas ajudam a construir o esboço 3D corretamente.

Passo 8

Resumo e cheirinho final de confiança:
  • A curva é uma hélice de raio 2 cujo eixo é o eixo y, sobe quando t aumenta e dá uma volta completa quando t aumenta de 2\pi.
  • Marquei seis pontos e mostrei como conectar e colocar as setas de direção. Vai tranquilo: desenhe o círculo de base, marque alturas e conecte em espiral — funciona sempre.

Resposta

\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,\;t,\;2\sin t\rangle\n
Pontos (pelo menos 6):\n
\vec{r}(0)=\langle 2,\;0,\;0\rangle\n
\vec{r}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\Big\langle 0,\;\dfrac{\pi}{2},\;2\Big\rangle\n
\vec{r}(\pi)=\langle -2,\;\pi,\;0\rangle\n
\vec{r}\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\Big\langle 0,\;\dfrac{3\pi}{2},\;-2\Big\rangle\n
\vec{r}(2\pi)=\langle 2,\;2\pi,\;0\rangle\n
\vec{r}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\Big\langle 0,\;-\dfrac{\pi}{2},\;-2\Big\rangle\n
Direção: t cresce no sentido em que y aumenta (hélice sobe) e a projeção no plano x\!z gira no sentido anti-horário (setas na hélice apontando para cima e acompanhando essa rotação).

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