Rotacional em coordenadas curvilíneas. (a) Derive, a partir da definição integral,
n cdot(nabla times J)=lim de
onde n é normal a de, a expressão para o rotacional de J em coordenadas esféricas. Verifique que a expressão obtida pode ser escrita como
nabla times J=1hr htheta hvarphi|lll hr er & htheta etheta & hvarphi evarphi partial / partial r & partial / partial theta & partial / partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi |,
onde hmu, Jmu e emu, para mu=r, theta, varphi, são, respectivamente, os elementos da métrica, as componentes de J e os versores do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente derivar o rotacional de um campo vetorial ncdot(nablatimes J) =limde em coordenadas esféricas a partir da definição integral
nabla times J =1hr htheta hvarphi hrer & hthetaetheta & hvarphievarphi partial /partial r & partial /partial theta & partial /partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi
e depois mostrar que o resultado se encaixa na forma de determinante com os fatores métricos
Conteúdo: cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas (esféricas).
O que vamos precisar:
  • Saber os fatores métricos em esféricas:
    .
  • Entender como aproximar num elemento retangular pequeno em cada par de coordenadas.
  • Expandir em série de Taylor até ordem 1 para capturar as variações.

Passo 2

Vamos começar calculando a componente “ (nablatimes J)varphi =evarphi!cdot(nablatimes J) =limde” do rotacional, ou seja
com a superfície sendo um retângulo nos parâmetros e .
  • Lados paralelos a : .
  • Lados paralelos a : .
    A área desse retângulo é .

Passo 3

Vamos somar as contribuições nos quatro lados:
  1. Lado 1 (fixo oint Jcdot d r approx Jr(r,theta),de, Jtheta(r+de):
    oint Jcdot d r approx l(partialpartial r(r,Jtheta) -partial Jrpartialthetar),de.
  2. Lado 2 (fixo (nablatimes J)varphi =1rl[partialpartial r(r,Jtheta) -partial Jrpartialthetar] , ):
    .
  3. Lado 3 (mesmo que 1, mas indo de pra , em ):
    .
  4. Lado 4 (mesmo que 2, mas voltando em , em ):
    .
Somando tudo:
Agora usamos Taylor para as diferenças:
Substituindo e cancelando termos, sobra
Dividindo por e fazendo :

Passo 4

Fazendo o mesmo raciocínio para as outras componentes:
  • Com normal em (nablatimes J)r =1rsinthetal[ partialpartialtheta( sintheta,Jvarphi) -partial Jthetapartialvarphi r] (loop em (nablatimes J)theta =1rl[ 1sinthetapartial Jrpartialvarphi -partialpartial r(r,Jvarphi) r] ) dá
  • Com normal em (loop em ) dá
Cada derivada surge do mesmo esquema de linha integral e expansão de Taylor, só mudam os fatores métricos.

Passo 5

Juntando tudo num vetor, lembrando que
nabla times J =1hr htheta hvarphi hrer & hthetaetheta & hvarphievarphi partial /partial r & partial /partial theta & partial /partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi ,
e que em esféricas ,
a gente vê que o resultado se encaixa certinho no formato de determinante:

Resposta

O rotacional em coordenadas esféricas é
boxed nabla times J =1hr htheta hvarphi hrer & hthetaetheta & hvarphievarphi partial /partial r & partial /partial theta & partial /partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi , (hr,htheta,hvarphi)=(1,r,rsintheta)

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