Rotacional em coordenadas curvilíneas. (a) Derive, a partir da definição integral,
onde é normal a , a expressão para o rotacional de em coordenadas esféricas. Verifique que a expressão obtida pode ser escrita como
onde hmu, Jmu e emu, para mu=r, theta, varphi, são, respectivamente, os elementos da métrica, as componentes de J e os versores do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente derivar o rotacional de um campo vetorial ncdot(nablatimes J) =limde em coordenadas esféricas a partir da definição integral
nabla times J =1hr htheta hvarphi hrer & hthetaetheta & hvarphievarphi partial /partial r & partial /partial theta & partial /partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi
e depois mostrar que o resultado se encaixa na forma de determinante com os fatores métricos
Conteúdo: cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas (esféricas).
O que vamos precisar:
Saber os fatores métricos em esféricas: .
Entender como aproximar num elemento retangular pequeno em cada par de coordenadas.
Expandir em série de Taylor até ordem 1 para capturar as variações.
Passo 2
Vamos começar calculando a componente “ (nablatimes J)varphi =evarphi!cdot(nablatimes J) =limde” do rotacional, ou seja
com a superfície sendo um retângulo nos parâmetros e .
Lados paralelos a : .
Lados paralelos a : .
A área desse retângulo é .
Passo 3
Vamos somar as contribuições nos quatro lados:
Lado 1 (fixo oint Jcdot d r approx Jr(r,theta),de, Jtheta(r+de): oint Jcdot d r approx l(partialpartial r(r,Jtheta) -partial Jrpartialthetar),de.
Fazendo o mesmo raciocínio para as outras componentes:
Com normal em (nablatimes J)r =1rsinthetal[ partialpartialtheta( sintheta,Jvarphi) -partial Jthetapartialvarphi r] (loop em (nablatimes J)theta =1rl[ 1sinthetapartial Jrpartialvarphi -partialpartial r(r,Jvarphi) r] ) dá
Com normal em (loop em ) dá
Cada derivada surge do mesmo esquema de linha integral e expansão de Taylor, só mudam os fatores métricos.
Passo 5
Juntando tudo num vetor, lembrando que nabla times J =1hr htheta hvarphi hrer & hthetaetheta & hvarphievarphi partial /partial r & partial /partial theta & partial /partial varphi hr Jr & htheta Jtheta & hvarphi Jvarphi ,
e que em esféricas ,
a gente vê que o resultado se encaixa certinho no formato de determinante: