No MHS a função que descreve a posição do corpo é dada por
x(t)=x_{\mathrm{m}} \cos (\omega t+\varphi) .
Escreva o que significa cada um desses parâmetros. Calcule a velocidade v(t) e a aceleração a(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
x(t)=x_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\varphi)
e pede duas coisas:
  • Escrever o que significa cada parâmetro presente na expressão.
  • Calcular a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
Informações dadas:
  • A função x(t) está fornecida em termos de x_{\mathrm{m}}, \omega, \varphi e t.
  • Não há valores numéricos; o pedido é simbólico (interpretação dos parâmetros e derivadas).

Passo 2

Significado de cada parâmetro (explicação detalhada e units):
  • x_{\mathrm{m}}: amplitude. É o valor máximo que a posição atinge (deslocamento máximo em relação ao ponto de equilíbrio). Unidade: mesma unidade de x (por ex. metros, \mathrm{m}).
  • \omega: pulsação ou frequência angular. Mede a rapidez angular das oscilações, em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}). Está relacionada ao período T e à frequência f por:
T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
  • \varphi: fase inicial (ou constante de fase). É um ângulo em radianos que desloca a função no tempo; determina a posição inicial relativa quando t=0. Unidade: radianos.
  • t: tempo, variável independente (segundos, \mathrm{s}).
Comentário rápido e prático: pensar em \omega t+\varphi como o “ângulo” da oscilação que avança com o tempo; \cos(\cdot) dá a forma da oscilação e x_{\mathrm{m}} ajusta a altura.

Passo 3

Derivação da velocidade v(t) (regra da cadeia, passo a passo).
  • Defina a função interna u(t)=\omega t+\varphi. Então x(t)=x_{\mathrm{m}}\cos(u(t)).
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\bigl[\cos(u(t))\bigr]=-\sin(u(t))\cdot u'(t).
  • Calcule u'(t)=\dfrac{d}{dt}(\omega t+\varphi)=\omega (pois \varphi é constante).
  • Agora aplique à x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=x_{\mathrm{m}}\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\cos(u(t))\bigr]=x_{\mathrm{m}}\bigl(-\sin(u(t))\bigr)\cdot\omega.
  • Simplificando:
v(t)=-x_{\mathrm{m}}\omega\sin(\omega t+\varphi).
Observações úteis para prova:
  • Amplitude máxima da velocidade: \,v_{\max}=x_{\mathrm{m}}\omega.
  • Valor inicial da velocidade: \,v(0)=-x_{\mathrm{m}}\omega\sin\varphi.

Passo 4

Derivação da aceleração a(t) (derivar v(t)).
  • Comece de v(t)=-x_{\mathrm{m}}\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • Novamente use regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\bigl[\sin(u(t))\bigr]=\cos(u(t))\cdot u'(t).
  • Assim:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-x_{\mathrm{m}}\omega\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\sin(u(t))\bigr] =-x_{\mathrm{m}}\omega\cdot\cos(u(t))\cdot u'(t).
  • Substituindo u'(t)=\omega:
a(t)=-x_{\mathrm{m}}\omega\cdot\cos(\omega t+\varphi)\cdot\omega = -x_{\mathrm{m}}\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
  • Repare que isso pode ser escrito de forma compacta usando x(t):
a(t)=-\omega^{2}x(t).
Observações úteis:
  • Amplitude máxima da aceleração: \,a_{\max}=x_{\mathrm{m}}\omega^{2}.
  • Valor inicial da aceleração: \,a(0)=-x_{\mathrm{m}}\omega^{2}\cos\varphi.

Passo 5

Relações de fase e interpretação física (como usar na prova):
  • Comparando fases: x(t) tem argumento \omega t+\varphi. A velocidade é proporcional a \cos(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}) (ou seja, tem fase \varphi+\tfrac{\pi}{2}); portanto a velocidade está defasada de \tfrac{\pi}{2} rad em relação à posição — mais precisamente, a velocidade “adianta” a posição de \tfrac{\pi}{2}.
  • A aceleração satisfaz a(t)=-\omega^{2}x(t): está em oposição à posição (fase defasada de \pi). Isso indica que a aceleração é sempre dirigida para o ponto de equilíbrio (restauradora).
  • Dicas práticas: para obter máximos, troque \cos por \pm 1 e \sin por \pm 1 conforme necessário. Use as fórmulas de amplitude para respostas rápidas em questões numéricas.

Resposta

x_{\mathrm{m}} é a amplitude (deslocamento máximo); \omega é a pulsação (frequência angular, em \mathrm{rad/s}) com T=\dfrac{2\pi}{\omega} e f=\dfrac{\omega}{2\pi}; \varphi é a fase inicial (em radianos); t é o tempo.
v(t)=-x_{\mathrm{m}}\omega\sin(\omega t+\varphi)
a(t)=-x_{\mathrm{m}}\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)= -\omega^{2}x(t)

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