Mostre que um pêndulo simples não executa um MHS. Qual a condição para que o movimento seja um MHS?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que um pêndulo simples não executa um MHS (movimento harmônico simples) em geral.
  • Determinar qual é a condição (qual aproximação / hipótese) para que o movimento possa ser tratado como MHS.
Informações e símbolos que vamos usar (todas fornecidas pela definição de pêndulo simples):
  • m: massa puntual presa ao fio.
  • l: comprimento do fio (massa do fio desprezível).
  • g: aceleração da gravidade (positiva).
  • \theta(t): deslocamento angular da vertical como função do tempo.
  • Suponhamos que o movimento se dá no plano, sem amortecimento e sem forças além do peso e da tensão.

Passo 2

Escrever a equação de movimento do pêndulo sem aproximações (passo a passo físico).
  • Para um corpo em rotação em torno do ponto de suspensão, usa-se a segunda lei de Newton na forma angular: I\,\alpha = \tau,onde:
    • I é o momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão,
    • \alpha é a aceleração angular \ddot\theta,
    • \tau é o torque resultante em relação ao ponto de suspensão.
  • Para uma massa puntual a distância l do pivô, o momento de inércia é I = m l^{2}.
  • O torque causado pelo peso mg é a componente tangencial da força peso multiplicada pela alavanca l. A força tangencial é -mg\sin\theta (o sinal negativo porque o torque tende a restaurar para \theta=0). Assim \tau = - m g l \sin\theta.
  • Substituindo em I\alpha=\tau: m l^{2}\,\ddot\theta = - m g l \sin\theta.
  • Simplificando m e um fator l (assumindo l\neq 0): \ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.
Essa é a equação exata (não linear) do pêndulo simples. Aqui \ddot\theta é a segunda derivada temporal de \theta(t).

Passo 3

Definir claramente o que é MHS (o alvo que queremos comparar).
  • Movimento harmônico simples é aquele cuja equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem e tem a forma \ddot x + \omega^{2} x = 0,onde:
    • x(t) é a coordenada que descreve o deslocamento (linear ou angular, contanto que a equação esteja nessa forma),
    • \omega é a frequência angular constante (número real positivo).
  • Soluções de MHS são senos/cossenos com amplitude e período independentes do tempo e do sinal do deslocamento; o período é T=2\pi/\omega e não depende da amplitude.
Agora compare a equação exata do pêndulo com a forma do MHS:
  • A equação exata do pêndulo é \ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.
  • A presença de \sin\theta (função não linear de \theta) implica que a equação NÃO tem a forma linear \ddot\theta + (\text{constante})\theta=0 para deslocamentos arbitrários.
  • Portanto, em geral o pêndulo simples NÃO é um MHS, porque a equação é não linear.

Passo 4

Ver como e quando podemos obter um MHS a partir dessa equação (ideia da linearização).
  • Para pequenos ângulos \theta (medidos em radianos) podemos usar a expansão em série de Taylor de \sin\theta em torno de \theta=0: \sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + \frac{\theta^{5}}{120} - \cdots.Aqui explique o que cada termo significa:
    • O primeiro termo é linear em \theta.
    • Os termos posteriores são não lineares (começam com \theta^{3}).
  • Na aproximação de pequenos ângulos descartamos os termos de ordem superior e tomamos \sin\theta \approx \theta\qquad\text{se}\qquad |\theta|\ll 1.(A expressão |\theta|\ll 1 significa que \theta é numericamente muito menor que 1 radiano; tipicamente usamos \theta na ordem de décimos ou centésimos de radiano para que a aproximação seja boa.)
  • Substituindo \sin\theta\approx\theta na equação exata: \ddot\theta + \frac{g}{l}\theta = 0.Essa é exatamente a forma da equação de um MHS com \omega^{2} = \frac{g}{l}\qquad\Rightarrow\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.
  • A solução geral dessa equação linear é \theta(t)=\Theta_{0}\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),onde \Theta_{0} é a amplitude angular (constante) e \varphi é a fase inicial determinada pelas condições iniciais.
  • O período é T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.
Expliquei o significado de cada variável: \Theta_{0} (amplitude), \varphi (fase), \omega (freq. angular), T (período).

Passo 5

Interpretar fisicamente e discutir precisão da aproximação (quando ela é boa).
  • O motivo pelo qual o pêndulo não é MHS em geral é que os termos não lineares (por exemplo -\theta^{3}/6 na expansão de \sin\theta) tornam a equação dependente de potência de \theta e, por consequência, o período do movimento passa a depender da amplitude.
  • Para amplitudes finitas a solução do pêndulo envolve integrais elípticas; o período exato é T(\Theta_{0}) = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\;K\!\bigl(\sin(\tfrac{\Theta_{0}}{2})\bigr),onde K é a integral elíptica completa de primeira espécie. Não é necessário derivar aqui a K para a prova, basta saber que T depende de \Theta_{0}.
  • Pode-se expandir o período em série em potências de \Theta_{0} para ver a correção de amplitude: T(\Theta_{0}) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1 + \frac{1}{16}\Theta_{0}^{2} + \frac{11}{3072}\Theta_{0}^{4} + \cdots\right).Comentário sobre essa série:
    • O termo 1 dá o período do MHS (pequenos ângulos).
    • O termo \tfrac{1}{16}\Theta_{0}^{2} é a primeira correção: ele mostra que o período aumenta quando a amplitude aumenta.
  • Portanto, a aproximação MHS é boa se a correção for pequena, isto é, se \Theta_{0}^{2} for pequeno comparado a 1.

Passo 6

Quantificar uma condição prática para a prova (números que dá uma ideia do que é “pequeno”).
  • A condição teórica: |\theta|\ll 1 (em radianos) — esta é a condição usada para derivar a linearização.
  • Condição prática (erros típicos):
    • Se quiser que a diferença do período seja menor que 1\%, usar a aproximação com a correção principal: \frac{T(\Theta_{0})-T_{0}}{T_{0}}\approx \frac{1}{16}\Theta_{0}^{2} < 0,01,onde T_{0}=2\pi\sqrt{l/g}. Isso leva a \Theta_{0}^{2} < 0,16 \quad\Rightarrow\quad \Theta_{0} \lesssim 0,4\\ \text{rad}\approx 23^\circ.
    • Para maior precisão (erro \lesssim 0,1\%) exigimos \Theta_{0}\lesssim 0,13\\ \text{rad}\approx 7{,}5^\circ.
    • Uma regra de bolso muito usada em exercícios: tomar \Theta_{0}\lesssim 0,1\\ \text{rad} (cerca de 6^\circ) garante uma aproximação excelente e é facilmente usada em provas.
  • Portanto, o critério do professor/examinador normalmente será: “assuma pequenos ângulos” ou explicitamente |\theta|\ll 1; numericamente, \theta_0 da ordem de 0,1 rad é uma escolha segura.

Passo 7

Resumo pedagógico e dica de prova (como responder rápido na hora da prova).
  • Diga explicitamente: escrever a equação exata \ddot\theta + \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0 e afirmar que ela é não linear por causa de \sin\theta — logo, pêndulo NÃO é MHS em geral.
  • Em seguida, diga que para |\theta|\ll 1 usa-se \sin\theta\approx\theta e obtém-se a equação linearizada \ddot\theta + \dfrac{g}{l}\theta=0, que é MHS com \omega=\sqrt{g/l} e T=2\pi\sqrt{l/g}.
  • Se pedirem justificar numericamente, mencione a série do período ou dê a estimativa numérica (por exemplo \Theta_{0}\lesssim 0,1\\ \text{rad} para boa precisão).

Resposta

Não — o pêndulo simples não executa MHS em geral, porque sua equação exata é \ddot\theta + \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0, que é não linear.
Condição para ser MHS: pequenos ângulos |\theta|\ll 1 (aproximação \sin\theta\approx\theta), que lineariza a equação para \ddot\theta + \dfrac{g}{l}\theta = 0, com \omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}} e T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}.

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