Mostre que um pêndulo simples não executa um MHS. Qual a condição para que o movimento seja um MHS?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que um pêndulo simples não executa um MHS (movimento harmônico simples) em geral.
- Determinar qual é a condição (qual aproximação / hipótese) para que o movimento possa ser tratado como MHS.
Informações e símbolos que vamos usar (todas fornecidas pela definição de pêndulo simples):
-
: massa puntual presa ao fio. -
: comprimento do fio (massa do fio desprezível). -
: aceleração da gravidade (positiva). -
: deslocamento angular da vertical como função do tempo. - Suponhamos que o movimento se dá no plano, sem amortecimento e sem forças além do peso e da tensão.
Passo 2
Escrever a equação de movimento do pêndulo sem aproximações (passo a passo físico).
- Para um corpo em rotação em torno do ponto de suspensão, usa-se a segunda lei de Newton na forma angular:
onde: -
é o momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão, -
é a aceleração angular , -
é o torque resultante em relação ao ponto de suspensão.
-
- Para uma massa puntual a distância
do pivô, o momento de inércia é - O torque causado pelo peso
é a componente tangencial da força peso multiplicada pela alavanca . A força tangencial é (o sinal negativo porque o torque tende a restaurar para ). Assim - Substituindo em
: - Simplificando
e um fator (assumindo ):
Essa é a equação exata (não linear) do pêndulo simples. Aqui
é a segunda derivada temporal de
.
Passo 3
Definir claramente o que é MHS (o alvo que queremos comparar).
- Movimento harmônico simples é aquele cuja equação diferencial é linear, homogênea, de segunda ordem e tem a forma
onde: -
é a coordenada que descreve o deslocamento (linear ou angular, contanto que a equação esteja nessa forma), -
é a frequência angular constante (número real positivo).
-
- Soluções de MHS são senos/cossenos com amplitude e período independentes do tempo e do sinal do deslocamento; o período é
e não depende da amplitude.
Agora compare a equação exata do pêndulo com a forma do MHS:
- A equação exata do pêndulo é
- A presença de
(função não linear de ) implica que a equação NÃO tem a forma linear para deslocamentos arbitrários. - Portanto, em geral o pêndulo simples NÃO é um MHS, porque a equação é não linear.
Passo 4
Ver como e quando podemos obter um MHS a partir dessa equação (ideia da linearização).
- Para pequenos ângulos
(medidos em radianos) podemos usar a expansão em série de Taylor de em torno de : Aqui explique o que cada termo significa: - O primeiro termo é linear em
. - Os termos posteriores são não lineares (começam com
).
- O primeiro termo é linear em
- Na aproximação de pequenos ângulos descartamos os termos de ordem superior e tomamos
(A expressão significa que é numericamente muito menor que radiano; tipicamente usamos na ordem de décimos ou centésimos de radiano para que a aproximação seja boa.) - Substituindo
na equação exata: Essa é exatamente a forma da equação de um MHS com - A solução geral dessa equação linear é
onde é a amplitude angular (constante) e é a fase inicial determinada pelas condições iniciais. - O período é
Expliquei o significado de cada variável:
(amplitude),
(fase),
(freq. angular),
(período).
Passo 5
Interpretar fisicamente e discutir precisão da aproximação (quando ela é boa).
- O motivo pelo qual o pêndulo não é MHS em geral é que os termos não lineares (por exemplo
na expansão de ) tornam a equação dependente de potência de e, por consequência, o período do movimento passa a depender da amplitude. - Para amplitudes finitas a solução do pêndulo envolve integrais elípticas; o período exato é
onde é a integral elíptica completa de primeira espécie. Não é necessário derivar aqui a para a prova, basta saber que depende de . - Pode-se expandir o período em série em potências de
para ver a correção de amplitude: Comentário sobre essa série: - O termo
dá o período do MHS (pequenos ângulos). - O termo
é a primeira correção: ele mostra que o período aumenta quando a amplitude aumenta.
- O termo
- Portanto, a aproximação MHS é boa se a correção for pequena, isto é, se
for pequeno comparado a .
Passo 6
Quantificar uma condição prática para a prova (números que dá uma ideia do que é “pequeno”).
- A condição teórica:
(em radianos) — esta é a condição usada para derivar a linearização. - Condição prática (erros típicos):
- Se quiser que a diferença do período seja menor que
, usar a aproximação com a correção principal: onde . Isso leva a - Para maior precisão (erro
) exigimos . - Uma regra de bolso muito usada em exercícios: tomar
(cerca de ) garante uma aproximação excelente e é facilmente usada em provas.
- Se quiser que a diferença do período seja menor que
- Portanto, o critério do professor/examinador normalmente será: “assuma pequenos ângulos” ou explicitamente
; numericamente, da ordem de rad é uma escolha segura.
Passo 7
Resumo pedagógico e dica de prova (como responder rápido na hora da prova).
- Diga explicitamente: escrever a equação exata
e afirmar que ela é não linear por causa de — logo, pêndulo NÃO é MHS em geral. - Em seguida, diga que para
usa-se e obtém-se a equação linearizada , que é MHS com e . - Se pedirem justificar numericamente, mencione a série do período ou dê a estimativa numérica (por exemplo
para boa precisão).
Resposta
Não — o pêndulo simples não executa MHS em geral, porque sua equação exata é
, que é não linear.
Condição para ser MHS: pequenos ângulos (aproximação
), que lineariza a equação para
, com
e
.
Condição para ser MHS: pequenos ângulos