Com relação a energia no MHS, encontre a expressão para a energia potencial
e para a energia cinética
e encontre que a energia total pode ser escrita como
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Achar a expressão para a energia potencial
. - Achar a expressão para a energia cinética
. - Mostrar que a energia total pode ser escrita como
Informações que vamos usar (hipótese padrão do MHS; essas quantidades aparecem sempre nesse problema):
- A massa do corpo é
. - A constante elástica da mola é
. - A amplitude do movimento é
. - A posição como função do tempo no MHS é tomada na forma padrão
onde
é a pulsação e
é a fase inicial.
- A relação entre
, e é
Não é pedido calcular
nem
; queremos expressões em função de
(e dos parâmetros indicados).
Passo 2
Definição e derivação da energia potencial elástica da mola.
Conceito rápido: a força restauradora da mola (Lei de Hooke) é
. A energia potencial associada a essa força é a função
cuja variação compensa o trabalho da força; uma forma de obter
é integrar menos a força em relação à posição:
Substituindo
obtemos
Convenção usual: escolher
. Portanto a expressão final é
Passo 3
Usar a expressão
para escrever
.
Substituindo a posição
na fórmula de
obtemos
Podemos reescrever como
Explicação didática: isso significa que a energia potencial varia no tempo conforme o quadrado do cosseno do deslocamento normalizado; quando a massa passa pela posição de equilíbrio (
) temos
, e nos extremos (
) temos
.
Passo 4
Definição e cálculo da energia cinética
.
Conceito rápido: energia cinética clássica é
onde
é a velocidade. Então precisamos derivar
.
Derivando
obtemos
Detalhe do cálculo da derivada: a derivada de
é
vezes a derivada interna
.
Passo 5
Montar
substituindo
na fórmula da energia cinética.
Substituição direta:
Como o quadrado elimina o sinal menos,
Agora usar a relação
para escrever
em termos de
e
. Multiplicando
por
dá
. Então
Explicação didática: a energia cinética é máxima em
(quando
) e nula nos extremos do movimento (quando
), como esperado fisicamente.
Passo 6
Somar
e
para obter a energia total e mostrar que é constante.
Somando as duas expressões obtidas:
Fatorando
temos
Usando a identidade trigonométrica fundamental
segue que
Interpretação: a energia total é constante no tempo (conservada) e igual à energia potencial máxima, que ocorre nos extremos do movimento.