Com relação a energia no MHS, encontre a expressão para a energia potencial U(t) e para a energia cinética K(t) e encontre que a energia total pode ser escrita como
E=K+U=\frac{1}{2} k x_{\mathrm{m}}^{2} .

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Achar a expressão para a energia potencial U(t).
  • Achar a expressão para a energia cinética K(t).
  • Mostrar que a energia total pode ser escrita como
E=K+U=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}.
Informações que vamos usar (hipótese padrão do MHS; essas quantidades aparecem sempre nesse problema):
  • A massa do corpo é m.
  • A constante elástica da mola é k.
  • A amplitude do movimento é x_{\mathrm{m}}.
  • A posição como função do tempo no MHS é tomada na forma padrão
x(t)=x_{\mathrm{m}}\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde \omega é a pulsação e \varphi é a fase inicial.
  • A relação entre \omega, k e m é
\omega^{2}=\frac{k}{m}.
Não é pedido calcular \varphi nem x_{\mathrm{m}}; queremos expressões em função de t (e dos parâmetros indicados).

Passo 2

Definição e derivação da energia potencial elástica da mola.
Conceito rápido: a força restauradora da mola (Lei de Hooke) é \,F(x)=-k x\,. A energia potencial associada a essa força é a função U(x) cuja variação compensa o trabalho da força; uma forma de obter U(x) é integrar menos a força em relação à posição:
U(x)-U(0)=-\int_{0}^{x} F(x')\,\mathrm{d}x'.
Substituindo F(x')=-k x' obtemos
U(x)-U(0)=-\int_{0}^{x} (-k x')\,\mathrm{d}x' = k\int_{0}^{x} x'\,\mathrm{d}x' = k\left[\frac{x'^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{1}{2}k x^{2}.
Convenção usual: escolher U(0)=0. Portanto a expressão final é
U(x)=\frac{1}{2}k x^{2}.

Passo 3

Usar a expressão U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2} para escrever U(t).
Substituindo a posição x(t)=x_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\varphi) na fórmula de U obtemos
U(t)=\frac{1}{2}k\bigl[x(t)\bigr]^{2}=\frac{1}{2}k\bigl(x_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\varphi)\bigr)^{2}.
Podemos reescrever como
U(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\cos^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explicação didática: isso significa que a energia potencial varia no tempo conforme o quadrado do cosseno do deslocamento normalizado; quando a massa passa pela posição de equilíbrio ( x=0) temos U=0, e nos extremos ( x=\pm x_{\mathrm{m}}) temos U=\tfrac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}.

Passo 4

Definição e cálculo da energia cinética K(t).
Conceito rápido: energia cinética clássica é
K=\frac{1}{2} m v^{2},
onde v=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} é a velocidade. Então precisamos derivar x(t).
Derivando x(t)=x_{\mathrm{m}}\cos(\omega t+\varphi) obtemos
v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -x_{\mathrm{m}}\omega\sin(\omega t+\varphi).
Detalhe do cálculo da derivada: a derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes a derivada interna \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\omega t+\varphi)=\omega.

Passo 5

Montar K(t) substituindo v(t) na fórmula da energia cinética.
Substituição direta:
K(t)=\frac{1}{2}m\bigl[v(t)\bigr]^{2}=\frac{1}{2}m\bigl(-x_{\mathrm{m}}\omega\sin(\omega t+\varphi)\bigr)^{2}.
Como o quadrado elimina o sinal menos,
K(t)=\frac{1}{2}m x_{\mathrm{m}}^{2}\omega^{2}\sin^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Agora usar a relação \omega^{2}=\dfrac{k}{m} para escrever K(t) em termos de k e x_{\mathrm{m}}. Multiplicando m por \omega^{2} m\omega^{2}=k. Então
K(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\sin^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explicação didática: a energia cinética é máxima em x=0 (quando \sin^{2}=1) e nula nos extremos do movimento (quando \sin^{2}=0), como esperado fisicamente.

Passo 6

Somar U(t) e K(t) para obter a energia total e mostrar que é constante.
Somando as duas expressões obtidas:
U(t)+K(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\cos^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)+\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\sin^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Fatorando \tfrac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2} temos
U(t)+K(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\Bigl(\cos^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)+\sin^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)\Bigr).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 segue que
E=U(t)+K(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\cdot 1=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}.
Interpretação: a energia total é constante no tempo (conservada) e igual à energia potencial máxima, que ocorre nos extremos do movimento.

Resposta

U(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\cos^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
K(t)=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}\sin^{2}\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
E=K+U=\frac{1}{2}k x_{\mathrm{m}}^{2}

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