1. Microondas, que se propagam com a velocidade da luz, são refletidas de um avião distante que se aproxima da fonte de ondas. Descobre-se que, quando as ondas refletidas se encontram com as ondas irradiadas pela fonte, a frequiência de batimento é de 990 Hz . Se as microondas têm um comprimento de onda de 12,0 \mathrm{~cm}, qual a velocidade de aproximação do avião?

Passo 1

O enunciado diz que microondas de comprimento de onda \lambda=12{,}0\text{ cm} são emitidas de uma fonte fixa e se refletem num avião que se aproxima com velocidade v. Ao chegarem de volta à fonte, as ondas refletidas e as originais criam batimentos de frequência f_b=990\text{ Hz}. O conteúdo é o efeito Doppler para espelho em movimento: a reflexão num objeto em movimento dobra o desvio Doppler.

Passo 2

Calculamos primeiro a frequência das ondas emitidas pela fonte, usando
f_0=\frac{c}{\lambda},
onde c=3{,}00\times10^8\text{ m/s} e \lambda=12{,}0\text{ cm}=0{,}120\text{ m}. Logo,
f_0 = \frac{3{,}00\times10^8}{0{,}120} = 2{,}50\times10^9\text{ Hz}.

Passo 3

Para uma reflexão em um espelho que se aproxima na velocidade v\ll c, a frequência refletida é aproximada por
f_R \approx f_0\Bigl(1 + \frac{2v}{c}\Bigr).
Isso porque primeiro o espelho “vê” a onda com frequência aumentada por (1+v/c) e em seguida reflete novamente com outro fator (1+v/c).

Passo 4

A frequência de batimento é a diferença entre a refletida e a original:
f_b = f_R - f_0 \approx f_0\Bigl(1 + \tfrac{2v}{c}\Bigr) - f_0 = \frac{2v}{c}\,f_0.

Passo 5

Isolando v na relação acima, obtemos
v \approx \frac{f_b\,c}{2\,f_0}.
Substituindo f_b=990\text{ Hz}, c=3{,}00\times10^8\text{ m/s} e f_0=2{,}50\times10^9\text{ Hz}:
v \approx \frac{990 \times 3{,}00\times10^8}{2 \times 2{,}50\times10^9} = \frac{2{,}97\times10^{11}}{5{,}00\times10^9} =5,94\times10^1\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade de aproximação do avião é aproximadamente 59{,}4\text{ m/s}.

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