Uma fonte de luz move-se perpendicularmente à linha de visão de um detector. A velocidade da fonte é de
. Com que velocidade uma fonte idêntica deve se mover em uma direção a
da linha de visão se os deslocamentos Doppler registrados pelo detector para as duas fontes são iguais?
Passo 1
O enunciado dá duas fontes de luz idênticas e pede que seus deslocamentos Doppler relatados pelo detector sejam iguais. Uma fonte move-se perpendicularmente à linha de visão com velocidade
(onde
). A outra deve mover-se num ângulo de
em relação à linha de visão, com velocidade
, de modo que o fator de Doppler seja o mesmo. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico, que envolve dilatação do tempo e projeção da velocidade na linha de visão.
Passo 2
A fórmula geral para o desvio Doppler relativístico de uma fonte que se afasta (ou se aproxima) com velocidade
formando ângulo
com a linha de visão é
Passo 3
Para a fonte movendo-se perpendicularmente (
), temos
. Logo
com
. Calculando numericamente
Passo 4
Para a segunda fonte, movendo-se a
com velocidade
, o mesmo fator de Doppler
satisfaz
Passo 5
Elevando ao quadrado e reorganizando, obtemos
Expansão e coleta de termos em
levam a uma equação quadrática da forma
cuja solução física positiva é
Resposta
A fonte deve mover-se com velocidade aproximadamente