Miguel andou de bicicleta ao longo de um caminho de 7 km e perdeu seu celular em algum local aleatório deste caminho. Diante dessa situação, Qual é a probabilidade de que o telefone de Miguel tenha caído durante o primeiro quilômetro do percurso?

Passo 1

O enunciado diz que Miguel andou de bicicleta ao longo de um caminho de 7 km e perdeu o celular em algum ponto aleatório desse percurso. A pergunta é: qual é a probabilidade de o telefone ter caído durante o primeiro quilômetro do percurso?
Informações relevantes que temos (listadas):
  • Comprimento total do caminho: 7 km.
  • Evento favorável: queda do celular dentro do primeiro quilômetro (ou seja, no trecho de 0 a 1 km).
  • O local da queda é “aleatório” ao longo do caminho (o enunciado indica que qualquer ponto do percurso é igualmente provável).

Passo 2

Modelagem e conceito que vamos usar (explicado devagar e com calma). Quando dizemos que o ponto da queda é “aleatório” e que todo ponto do caminho é igualmente provável, estamos assumindo que a posição ao longo do segmento é uniforme. Isso significa que a probabilidade de cair em um subtrecho é proporcional ao comprimento desse subtrecho.
Formalmente: se a posição X do celular é uma variável que pode assumir qualquer valor no intervalo [a,b] com igual chance (distribuição uniforme contínua), então a probabilidade de X cair dentro de um subintervalo [c,d]\subset[a,b] é a razão entre os comprimentos desses intervalos:
P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}.
Aqui eu expliquei o que cada símbolo significa: a e b são os extremos do caminho (início e fim), c e d são os extremos do subtrecho que nos interessa, e P(\cdot) é a probabilidade do evento.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema. No problema: o caminho vai de 0 a 7 (quilômetros), então a=0 e b=7. O primeiro quilômetro corresponde ao subintervalo [0,1], logo c=0 e d=1. Substituímos na fórmula:
P(0\le X\le 1)=\frac{1-0}{7-0}=\frac{1}{7}.
Mostrei o cálculo passo a passo: primeiro calculei o comprimento do subintervalo 1-0=1, depois o comprimento total 7-0=7, e finalmente a razão 1/7.

Passo 4

Interpretação e verificação intuitiva. A razão 1/7 faz sentido: se o percurso tem 7 km e todos os pontos são igualmente prováveis, o primeiro quilômetro representa exatamente uma sétima parte do caminho. Outra maneira de ver sem fórmulas: divida mentalmente o caminho em 7 blocos de 1 km cada; como todos os blocos têm a mesma probabilidade, cada bloco tem probabilidade 1/7.

Passo 5

Valor aproximado e forma percentual (só para intuição). A fração \frac{1}{7} corresponde aproximadamente a 0,142857\ldots, ou seja cerca de 14,2857\%. Não é necessário calcular isso na prova se a resposta em fração bastar, mas é bom saber a ordem de grandeza.

Resposta

\dfrac{1}{7}

Exercícios relacionados