Miguel andou de bicicleta ao longo de um caminho de 7 km e perdeu seu celular em algum local aleatório deste caminho. Diante dessa situação, Qual é a probabilidade de que o telefone de Miguel tenha caído durante o primeiro quilômetro do percurso?
Passo 1
O enunciado diz que Miguel andou de bicicleta ao longo de um caminho de
km e perdeu o celular em algum ponto aleatório desse percurso. A pergunta é: qual é a probabilidade de o telefone ter caído durante o primeiro quilômetro do percurso?
Informações relevantes que temos (listadas):
Informações relevantes que temos (listadas):
- Comprimento total do caminho:
km. - Evento favorável: queda do celular dentro do primeiro quilômetro (ou seja, no trecho de
a km). - O local da queda é “aleatório” ao longo do caminho (o enunciado indica que qualquer ponto do percurso é igualmente provável).
Passo 2
Modelagem e conceito que vamos usar (explicado devagar e com calma). Quando dizemos que o ponto da queda é “aleatório” e que todo ponto do caminho é igualmente provável, estamos assumindo que a posição ao longo do segmento é uniforme. Isso significa que a probabilidade de cair em um subtrecho é proporcional ao comprimento desse subtrecho.
Formalmente: se a posição do celular é uma variável que pode assumir qualquer valor no intervalo
com igual chance (distribuição uniforme contínua), então a probabilidade de
cair dentro de um subintervalo
é a razão entre os comprimentos desses intervalos:
Formalmente: se a posição
Aqui eu expliquei o que cada símbolo significa:
e
são os extremos do caminho (início e fim),
e
são os extremos do subtrecho que nos interessa, e
é a probabilidade do evento.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema. No problema: o caminho vai de
a
(quilômetros), então
e
. O primeiro quilômetro corresponde ao subintervalo
, logo
e
. Substituímos na fórmula:
Mostrei o cálculo passo a passo: primeiro calculei o comprimento do subintervalo
, depois o comprimento total
, e finalmente a razão
.
Passo 4
Interpretação e verificação intuitiva. A razão
faz sentido: se o percurso tem
km e todos os pontos são igualmente prováveis, o primeiro quilômetro representa exatamente uma sétima parte do caminho. Outra maneira de ver sem fórmulas: divida mentalmente o caminho em
blocos de
km cada; como todos os blocos têm a mesma probabilidade, cada bloco tem probabilidade
.
Passo 5
Valor aproximado e forma percentual (só para intuição). A fração
corresponde aproximadamente a
, ou seja cerca de
. Não é necessário calcular isso na prova se a resposta em fração bastar, mas é bom saber a ordem de grandeza.