Suponha que uma caixa contenha cinco moedas e que, para cada moeda, há uma probabilidade diferente de sair “cara” quando a moeda é lançada. Seja pi denotando a probabilidade de ocorrer “cara” quando a i-ésima moeda é lançada ( \mathrm{i}=\{1, \ldots, 5\} ). Suponha que uma moeda seja selecionada aleatoriamente da caixa e quando é lançada uma vez, obtém-se cara. Qual é a probabilidade da i-ésima moeda ter sido a selecionada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há cinco moedas na caixa.
  • Para cada moeda há uma probabilidade diferente de sair cara; a probabilidade da i-ésima moeda dar cara é p_i, com i\in\{1,\dots,5\}.
  • Uma moeda é escolhida ao acaso (isto é, cada moeda tem a mesma chance de ser escolhida).
  • A moeda escolhida é lançada uma vez e o resultado observado foi “cara”.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a moeda selecionada tenha sido a i-ésima, dado que saiu cara? Em notação, queremos P(\text{moeda }i \mid \text{cara}).

Passo 2

Vou usar a definição de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Primeiro, o Teorema de Bayes diz que, para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
Aqui:
  • A será o evento “a moeda escolhida é a i-ésima” (vou chamar esse evento de A_i),
  • B será o evento “observou-se cara” (vou chamar de H de head/cara).
    No Teorema de Bayes, P(B\mid A) é a probabilidade de observar B se A ocorreu (chamamos isto de verossimilhança), P(A) é a probabilidade a priori de A, e P(B) é a probabilidade total de observar B.

Passo 3

Agora identifico cada termo no nosso problema:
  • A priori, como escolhemos a moeda ao acaso entre cinco, temos
P(A_i)=\frac{1}{5}.
Isto significa que, antes de ver o resultado do lançamento, cada moeda tem probabilidade 1/5 de ter sido escolhida.
  • A probabilidade de sair cara dado que a moeda escolhida é a i-ésima é, por definição do enunciado,
P(H\mid A_i)=p_i.
Isto é a verossimilhança: se a i-ésima foi escolhida, a chance de ver “cara” é p_i.

Passo 4

Precisamos do denominador P(H), a probabilidade de observar cara sem saber qual moeda foi escolhida. Usamos a Lei da Probabilidade Total:
P(H) = \sum_{j=1}^{5} P(H\mid A_j)\,P(A_j).
Substituindo P(H\mid A_j)=p_j e P(A_j)=\tfrac{1}{5} obtemos
P(H) = \sum_{j=1}^{5} p_j\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{5}\sum_{j=1}^{5} p_j.

Passo 5

Aplicando Bayes para P(A_i\mid H):
P(A_i\mid H) = \frac{P(H\mid A_i)\,P(A_i)}{P(H)} = \frac{p_i\cdot\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\sum_{j=1}^{5} p_j}.
O fator \tfrac{1}{5} cancela no numerador e denominador, então fica
P(A_i\mid H) = \frac{p_i}{\sum_{j=1}^{5} p_j}.

Passo 6

Interpretação rápida e intuição: a probabilidade posterior de que a moeda seja a i-ésima é proporcional ao viés p_i. Ou seja, moedas com p_i maiores ficam com probabilidade posterior maior, pois são mais compatíveis com o fato observado “cara”.
Exemplo numérico ilustrativo (só para consolidar): suponha p_1=0,1, p_2=0,2, p_3=0,5, p_4=0,8, p_5=0,3. Então \sum_{j=1}^{5} p_j = 0,1+0,2+0,5+0,8+0,3=1,9. A probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a quarta é
P(A_4\mid H)=\frac{0,8}{1,9}\approx 0,421.

Passo 7

Observação importante: a fórmula só faz sentido se P(H)>0, isto é, se \sum_{j=1}^{5} p_j>0. Se todas as p_j fossem zero, o evento “cara” seria impossível e não podemos condicionar por ele.

Resposta

\frac{p_i}{\sum_{j=1}^{5} p_j}

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