Suponha que uma caixa contenha cinco moedas e que, para cada moeda, há uma probabilidade diferente de sair “cara” quando a moeda é lançada. Seja pi denotando a probabilidade de ocorrer “cara” quando a i-ésima moeda é lançada (
). Suponha que uma moeda seja selecionada aleatoriamente da caixa e quando é lançada uma vez, obtém-se cara. Qual é a probabilidade da i-ésima moeda ter sido a selecionada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há cinco moedas na caixa.
- Para cada moeda há uma probabilidade diferente de sair cara; a probabilidade da i-ésima moeda dar cara é
, com . - Uma moeda é escolhida ao acaso (isto é, cada moeda tem a mesma chance de ser escolhida).
- A moeda escolhida é lançada uma vez e o resultado observado foi “cara”.
- Pergunta: qual é a probabilidade de que a moeda selecionada tenha sido a i-ésima, dado que saiu cara? Em notação, queremos
.
Passo 2
Vou usar a definição de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Primeiro, o Teorema de Bayes diz que, para dois eventos
e
com
,
Aqui:
-
será o evento “a moeda escolhida é a i-ésima” (vou chamar esse evento de ), -
será o evento “observou-se cara” (vou chamar de de head/cara).
No Teorema de Bayes,é a probabilidade de observar se ocorreu (chamamos isto de verossimilhança), é a probabilidade a priori de , e é a probabilidade total de observar .
Passo 3
Agora identifico cada termo no nosso problema:
- A priori, como escolhemos a moeda ao acaso entre cinco, temos
Isto significa que, antes de ver o resultado do lançamento, cada moeda tem probabilidade
de ter sido escolhida.
- A probabilidade de sair cara dado que a moeda escolhida é a i-ésima é, por definição do enunciado,
Isto é a verossimilhança: se a i-ésima foi escolhida, a chance de ver “cara” é
.
Passo 4
Precisamos do denominador
, a probabilidade de observar cara sem saber qual moeda foi escolhida. Usamos a Lei da Probabilidade Total:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Aplicando Bayes para
:
O fator
cancela no numerador e denominador, então fica
Passo 6
Interpretação rápida e intuição: a probabilidade posterior de que a moeda seja a i-ésima é proporcional ao viés
. Ou seja, moedas com
maiores ficam com probabilidade posterior maior, pois são mais compatíveis com o fato observado “cara”.
Exemplo numérico ilustrativo (só para consolidar): suponha
,
,
,
,
. Então
. A probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a quarta é
Passo 7
Observação importante: a fórmula só faz sentido se
, isto é, se
. Se todas as
fossem zero, o evento “cara” seria impossível e não podemos condicionar por ele.