Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com
milhares de reais no bolso. Ao caminhar para a sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que
tem densidade de probabilidade
e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por
, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro como que deixou o escritório.
a) Calcule a densidade conjunta entre
e
.
b) Determine a densidade marginal de
.
a) Calcule a densidade conjunta entre
b) Determine a densidade marginal de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a densidade conjunta entre
e . - (b) Determinar a densidade marginal de
.
Informações dadas:
-
tem densidade
- Condicionalmente a
, o valor que resta é uniforme entre e . Ou seja, para cada fixo, dado tem densidade constante em .
Passo 2
Entendimento do que significa "condicionalmente a
,
é uniforme em
".
Uma variável aleatória com distribuição uniforme em
tem densidade igual a
para
e zero fora desse intervalo. Portanto, a densidade condicional
é
e
caso contrário.
Passo 3
Regra para obter a densidade conjunta: se conhecemos
e
, então a densidade conjunta é
Isso vale ponto a ponto no domínio onde ambas as densidades condicionais e marginais são válidas.
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior, para
temos
Note que o fator
cancela: isso acontece porque
cresce como
mas a densidade condicional uniformes divide por
, deixando constante a densidade conjunta no triângulo
.
Fora desse triângulo (isto é, se
, ou
, ou
, ou
) a densidade conjunta vale
.
Passo 5
Agora vamos obter a densidade marginal de
. A definição de densidade marginal é integrar a densidade conjunta na variável que queremos eliminar. Aqui:
Pelo suporte de
(que é não nulo apenas quando
), para um valor fixo
com
a integração em
vai de
até
. Para
fora de
a densidade marginal será zero.
Passo 6
Calcule a integral explicitamente: para
,
Essa é uma integral simples de constante. Avaliando,
Para
ou
temos
.
Passo 7
Cheque rápido de consistência (opcional, mas útil): a densidade
em
integra para 1?
logo está normalizada corretamente.
Resposta
(a)
para
, e
caso contrário.
(b) para
, e
caso contrário.
(b)