Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares de reais no bolso. Ao caminhar para a sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que X tem densidade de probabilidade f_{X}(x)=x / 8,0<x<4 e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro como que deixou o escritório.
a) Calcule a densidade conjunta entre X e Y.
b) Determine a densidade marginal de Y.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a densidade conjunta entre X e Y.
  • (b) Determinar a densidade marginal de Y.
Informações dadas:
  • X tem densidade
f_X(x)=\frac{x}{8},\quad 0<x<4.
  • Condicionalmente a X=x, o valor que resta Y é uniforme entre 0 e x. Ou seja, para cada x fixo, Y dado X=x tem densidade constante em (0,x).

Passo 2

Entendimento do que significa "condicionalmente a X=x, Y é uniforme em (0,x)".
Uma variável aleatória com distribuição uniforme em (0,x) tem densidade igual a 1/x para 0<y<x e zero fora desse intervalo. Portanto, a densidade condicional f_{Y\mid X}(y\mid x) é
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x}\quad\text{para }0<y<x,
e f_{Y\mid X}(y\mid x)=0 caso contrário.

Passo 3

Regra para obter a densidade conjunta: se conhecemos f_X(x) e f_{Y\mid X}(y\mid x), então a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_{Y\mid X}(y\mid x).
Isso vale ponto a ponto no domínio onde ambas as densidades condicionais e marginais são válidas.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior, para 0<y<x<4 temos
f_{X,Y}(x,y)=\frac{x}{8}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{8}.
Note que o fator x cancela: isso acontece porque f_X(x) cresce como x mas a densidade condicional uniformes divide por x, deixando constante a densidade conjunta no triângulo 0<y<x<4.
Fora desse triângulo (isto é, se y\le 0, ou y\ge x, ou x\le 0, ou x\ge 4) a densidade conjunta vale 0.

Passo 5

Agora vamos obter a densidade marginal de Y. A definição de densidade marginal é integrar a densidade conjunta na variável que queremos eliminar. Aqui:
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Pelo suporte de f_{X,Y} (que é não nulo apenas quando 0<y<x<4), para um valor fixo y com 0<y<4 a integração em x vai de x=y até x=4. Para y fora de (0,4) a densidade marginal será zero.

Passo 6

Calcule a integral explicitamente: para 0<y<4,
f_Y(y)=\int_{x=y}^{4} \frac{1}{8}\,dx.
Essa é uma integral simples de constante. Avaliando,
f_Y(y)=\frac{1}{8}\bigl[ x\bigr]_{x=y}^{x=4}=\frac{1}{8}(4-y)=\frac{4-y}{8}.
Para y\le 0 ou y\ge 4 temos f_Y(y)=0.

Passo 7

Cheque rápido de consistência (opcional, mas útil): a densidade f_Y(y)=\tfrac{4-y}{8} em 0<y<4 integra para 1?
\int_{0}^{4}\frac{4-y}{8}\,dy=\frac{1}{8}\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{1}{8}\left(16-8\right)=1,
logo está normalizada corretamente.

Resposta

(a) f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{1}{8} para 0<y<x<4, e 0 caso contrário.
(b) f_{Y}(y)=\dfrac{4-y}{8} para 0<y<4, e 0 caso contrário.

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