Sejam
b) Mostre que se
c) Sejam
. Demonstre que
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumido e claro). Temos duas variáveis aleatórias [X) e
no mesmo espaço de probabilidade. Seja
e
conjuntos borelianos. O exercício pede três coisas:
a) Mostrar que, para todo
,
b) Mostrar que, se para todo
, então
c) Sejam
e
independentes e
. Demonstrar que, para qualquer real
,
Anotações úteis que assumimos (enunciado bem-formulado): quando escrevemos
estamos a usar uma versão regular de probabilidade condicional (ou seja, uma função de
que representa a condicional dada
). Também assumimos
quando for necessário falar de
.]
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicação didática). Primeiro, a ideia prática: condicionar em
significa que, ao “saber” o valor de
, qualquer quantidade que dependa somente de
passa a ser um número (ou função de
) fixo. Mais formalmente, se
é uma função mensurável de
(por exemplo
), então
é medível em relação à
-álgebra gerada por
. Uma propriedade básica da esperança condicional é:
se
é
-mensurável e
é integrável, então
Intuição simples: dado
,
é conhecido (é uma função do próprio
), então pode ser “fatorado para fora” da operação de condicionar em
. Aqui usaremos essa propriedade com
e
; como
é uma versão de
, isso traduz-se na relação entre as probabilidades condicionais.
Passo 3
Prova detalhada da parte (a) — cálculo do condicional ponto a ponto. Considere as indicares
e
. Então a probabilidade condicional do evento conjunto é a esperança condicional da produtória dessas indicares:
Observe que
é uma função de
, logo é
-mensurável. Aplicando a propriedade do passo anterior com
e
, obtemos, quase certamente,
Mas
por definição de probabilidade condicional como esperança de indicadora. Portanto, quase certamente,
Passo 4
Concluindo a parte (a) ponto a ponto (avaliando em
Interpretando isso como função de
(ou seja, avaliando em
) obtemos exatamente a expressão pedida:
Comentário intuitivo: se sabemos que
, o evento
é impossível, então a probabilidade conjunta é zero; se
, então a condição
não reduz nada além da condição
, e a probabilidade conjunta fica só com
.]
Passo 5
Preparando a prova da parte (b). Queremos usar a média condicional: a probabilidade condicional de
sabendo que
é a média (esperança condicional) de
sobre os
em
. Mais precisamente, por definição de probabilidade condicional em evento de probabilidade positiva,
Mas
(lei da esperança total). Usando o resultado do passo 3 isso vira
Passo 6
Concluindo a parte (b) com a desigualdade por média. Suponha que
(se
então
não está definida; como o enunciado é bem-formulado, podemos assumir
). A partir do passo anterior,
Agora, pela hipótese do item (b), para todo
vale
. Isso implica que a função
é ao menos
para quase todo
. Portanto
Dividindo ambos os lados por
obtemos
que é exatamente o que queríamos demonstrar. Intuição: se para cada
a probabilidade condicional é pelo menos
, então a média (condicional) sobre
também é pelo menos
.
Passo 7
Preparando a parte (c). Aqui
e
são independentes e sabemos
. Queremos mostrar
Defina o conjunto
. Pelo mesmo raciocínio da parte (b), é natural escrever a probabilidade condicional em dois passos: primeiro condicionar em
, depois “média” em
com a distribuição de
restrita a
. Como
e
são independentes, dado
a probabilidade de
é a probabilidade de
. Ou seja, para cada
,
Expliquei isso passo a passo: saber que
fixa
, então
equivale a
; e independência garante que a distribuição condicional de
dado
é a mesma que a distribuição marginal de
.
Passo 8
Desigualdade ponto a ponto para
. Se
então
, o que implica
. Para qualquer variável aleatória
e números
vale
(monotonicidade das caudas). Aplicando isso com
e
(note que
) temos, para todo
,
Como por hipótese
, segue que, para todo
,
Mas do passo 7 temos
. Portanto, para todo
,
Passo 9
Finalizando a parte (c) por média condicional (aplicando o item (b) com
e
). Usando a fórmula da parte (b) — ou diretamente a lei da esperança total condicional — temos
Pelo que mostramos no passo anterior, para todo
vale
. Portanto a média condicional sobre
é ao menos
, ou seja
Intuição final: sabendo que
torna a exigência sobre
ser
; como
tem probabilidade ao menos
de ser não-negativo, e o evento
contém o evento
, a probabilidade condicional é ao menos
.
Resposta
a)
b)
c)
]