Determine a distribuição condicional de
dada
.
Passo 1
Enunciado resumido e hipóteses (o que eu estou supondo que o professor quis dizer): queremos a distribuição condicional de
dado
. Vou assumir o caso clássico e mais comum em exames:
e
são variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson, com parâmetros
e
, respectivamente.
O que se pede explicitamente: determinar a distribuição de para um inteiro
.
Informações relevantes dadas (ou assumidas):
O que se pede explicitamente: determinar a distribuição de
Informações relevantes dadas (ou assumidas):
-
. -
. -
e são independentes. - Queremos
para .
Passo 2
Lembrando a fórmula da Poisson (pequula aula): se
então a probabilidade de
assumir o valor inteiro
é
Aqui
é a média (e também a variância) da Poisson,
é o fatorial de
. Vou usar essa fórmula para
e para
.
Passo 3
Como
e
são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais. Para inteiros
e
(com
) temos
Multiplicando os expoentes, isso é
Passo 4
Agora preciso do denominador da condicional,
. Uma maneira direta é somar as probabilidades conjuntas para todos os possíveis valores de
que somam
:
Substituindo a expressão do passo anterior:
Coloco o fator comum fora da soma:
Repare que
é o coeficiente binomial. Multiplicando e dividindo por
dentro da soma:
A soma
é exatamente o desenvolvimento do binómio de Newton e vale
. Logo
Observação útil: isso mostra a propriedade conhecida de Poisson — a soma de Poissons independentes é Poisson com parâmetro
.
Passo 5
Agora calculo a probabilidade condicional para
:
Substituo as fórmulas que já obtive:
Cancelo o fator
e reorganizo:
Reconheço
. Faço também a divisão por
como potências:
Passo 6
Interpretação didática: a expressão do passo anterior é exatamente a função massa de probabilidade da distribuição Binomial com parâmetros
e
. Ou seja,
Intuição: sabendo que o total de ocorrências foi
, cada ocorrência “vai para”
com probabilidade proporcional à taxa
em relação à taxa total
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
,
, e que observamos
. Então
e
Isso dá um número concreto que você pode calcular sem calculadora se quiser aproximar.
Passo 8
Observações finais rápidas e motivação para a prova: esse resultado é muito útil porque transforma um problema de Poisson em um problema binomial condicionado — nas provas costumam pedir exatamente essa demonstração. Se a hipótese de Poisson ou independência não valer, o resultado não se aplica; mas esse é o caso padrão exigido em muitos exercícios.