Uma mina (inicialmente em repouso) explode em três fragmentos, de
cada um , que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções
ao norte e
ao sul da direção leste, respectivamente (veja Figura abaixo). A energia cinética total liberada pela explosão é de 4.000 J .
Antes da explosĩo
Depols da explostio
Determine as relações para momentos lineares do sistema nas direções x e y.
Antes da explosĩo
Depols da explostio
Determine as relações para momentos lineares do sistema nas direções x e y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mina que explode e se fragmenta em três pedaços. Cada fragmento tem uma massa de 100 g e se move em direções diferentes no plano horizontal. A energia cinética total liberada na explosão é de 4.000 J. O que precisamos descobrir são as relações para os momentos lineares do sistema nas direções x e y. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e decomposição de vetores. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, sabemos que, antes da explosão, a mina está em repouso. Então, o momento total inicial do sistema é zero. A partir da conservação do momento linear, o momento total após a explosão também deve ser zero. Isso significa que a soma dos momentos lineares dos três fragmentos nas direções x e y deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos identificar as direções positivas: consideramos o leste como o positivo na direção x e o norte como o positivo na direção y. O fragmento que vai para oeste terá direção negativa no eixo x. Os outros dois fragmentos têm direções de 60° ao norte do leste e 30° ao sul do leste, respectivamente.
Passo 4
Vamos chamar os fragmentos de A, B e C:
- Fragmento A: para oeste
- Fragmento B: 60° ao norte do leste
- Fragmento C: 30° ao sul do leste
Cada fragmento tem massa m = 100 g = 0,1 kg.
Passo 5
O momento linear ($ \vec{p} $) de cada fragmento é dado por $ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $, onde $ m $ é a massa e $ \vec{v} $ é a velocidade.
Passo 6
Vamos decompor os momentos lineares nas direções x e y:
- Para o fragmento A:
- $ p_{Ax} = -m \cdot v_A $ (pois vai para oeste)
- $ p_{Ay} = 0 $
- Para o fragmento B:
- $ p_{Bx} = m \cdot v_B \cdot \cos(60°) $
- $ p_{By} = m \cdot v_B \cdot \sin(60°) $
- Para o fragmento C:
- $ p_{Cx} = m \cdot v_C \cdot \cos(30°) $
- $ p_{Cy} = -m \cdot v_C \cdot \sin(30°) $ (sul é negativo)
Passo 7
Aplicando a conservação do momento:
-
Na direção x:Ou seja:
-
Na direção y:Ou seja:
Resposta
As relações para os momentos lineares do sistema nas direções x e y são: