Uma mina (inicialmente em repouso) explode em três fragmentos, de m=100 g cada um , que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções theta2=60^circ ao norte e theta3=30^circ ao sul da direção leste, respectivamente (veja Figura abaixo). A energia cinética total liberada pela explosão é de 4.000 J .
Antes da explosĩo
Depols da explostio
Determine as relações para momentos lineares do sistema nas direções x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mina que explode e se fragmenta em três pedaços. Cada fragmento tem uma massa de 100 g e se move em direções diferentes no plano horizontal. A energia cinética total liberada na explosão é de 4.000 J. O que precisamos descobrir são as relações para os momentos lineares do sistema nas direções x e y. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e decomposição de vetores. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, sabemos que, antes da explosão, a mina está em repouso. Então, o momento total inicial do sistema é zero. A partir da conservação do momento linear, o momento total após a explosão também deve ser zero. Isso significa que a soma dos momentos lineares dos três fragmentos nas direções x e y deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar as direções positivas: consideramos o leste como o positivo na direção x e o norte como o positivo na direção y. O fragmento que vai para oeste terá direção negativa no eixo x. Os outros dois fragmentos têm direções de 60° ao norte do leste e 30° ao sul do leste, respectivamente.

Passo 4

Vamos chamar os fragmentos de A, B e C:
  • Fragmento A: para oeste
  • Fragmento B: 60° ao norte do leste
  • Fragmento C: 30° ao sul do leste
Cada fragmento tem massa m = 100 g = 0,1 kg.

Passo 5

O momento linear ($ \vec{p} $) de cada fragmento é dado por $ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $, onde $ m $ é a massa e $ \vec{v} $ é a velocidade.

Passo 6

Vamos decompor os momentos lineares nas direções x e y:
  • Para o fragmento A:
    • $ p_{Ax} = -m \cdot v_A $ (pois vai para oeste)
    • $ p_{Ay} = 0 $
  • Para o fragmento B:
    • $ p_{Bx} = m \cdot v_B \cdot \cos(60°) $
    • $ p_{By} = m \cdot v_B \cdot \sin(60°) $
  • Para o fragmento C:
    • $ p_{Cx} = m \cdot v_C \cdot \cos(30°) $
    • $ p_{Cy} = -m \cdot v_C \cdot \sin(30°) $ (sul é negativo)

Passo 7

Aplicando a conservação do momento:
  • Na direção x:
    pAx + pBx + pCx = 0
    Ou seja:
    -m cdot vA + m cdot vB cdot cos(60°) + m cdot vC cdot cos(30°) = 0
  • Na direção y:
    pAy + pBy + pCy = 0
    Ou seja:
    0 + m cdot vB cdot sin(60°) - m cdot vC cdot sin(30°) = 0

Resposta

As relações para os momentos lineares do sistema nas direções x e y são:
-m cdot vA + m cdot vB cdot cos(60°) + m cdot vC cdot cos(30°) = 0
m cdot vB cdot sin(60°) - m cdot vC cdot sin(30°) = 0

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