Uma mina (inicialmente em repouso) explode em três fragmentos, de m=100 g cada um , que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções theta2=60^circ ao norte e theta3=30^circ ao sul da direção leste, respectivamente (veja Figura abaixo). A energia cinética total liberada pela explosão é de 4.000 J .
Antes da explosĩo
Depols da explostio
Determine as velocidades finais de cada massa e a energia cinética liberada.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma mina em repouso explode em três pedaços de 100 g cada, que saem de forma que um vai pra oeste, outro faz ângulo de 60° ao norte do leste e o terceiro faz 30° ao sul do leste. A energia cinética total liberada é de 4000 J.
Conteúdo: conservação de quantidade de movimento vetorial (momento) e relação com energia cinética.
O que precisamos:
  1. Usar que, como a mina estava parada, a soma vetorial dos momentos dos três fragmentos é zero.
  2. Escrever a soma das energias cinéticas dos três fragmentos igual a 4000 J.
  3. Resolver o sistema para achar as velocidades.

Passo 2

Vamos chamar cada velocidade de -m,v1 + m,v2cos60^circ + m,v3cos30^circ = 0 , m,v2sin60^circ - m,v3sin30^circ = 0 e (todas em m/s), e o módulo de cada massa de kg.
Conservação do momento (inicial é zero):
Na direção x (leste-oeste):
Na direção y (norte-sul):
Como é igual em todas, pode simplificar.

Passo 3

Equação y:
v2sin60^circ = v3sin30^circ Longrightarrow v2raiz32 = v312 Longrightarrow v2 = v3raiz3

Passo 4

Equação x:
-v1 + v2cos60^circ + v3cos30^circ = 0 ;Longrightarrow; -v1 + v22 + raiz3,v32 = 0
Substitui v1 = 12v3raiz3 + raiz32v3 = v3l(12raiz3 + raiz32r) = v3,2raiz33 :

Passo 5

Energia cinética total:
sum tfrac12 m vi^2 = 4000;J Longrightarrow tfrac12cdot0,1,(v1^2+v2^2+v3^2)=4000 ;Longrightarrow; v1^2+v2^2+v3^2 = 80000
Substitui l(2raiz33v3r)^2 + l(v3raiz3r)^2 + v3^2 = 83v3^2 = 80000 ;Longrightarrow; v3^2 = 30000 ;Longrightarrow; v3 = 100raiz3approx173,2;m/s e v2 = v3raiz3 = 100;m/s, v1 = 2raiz33v3 = 200;m/s :
Então:

Resposta

As velocidades dos fragmentos são:
m/s para oeste.
m/s a ao norte do leste.
m/s a ao sul do leste.
A energia cinética total liberada é de 4000 J.

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