Minimize e maximize f(x, y). f=x^{2} y com g=x^{2}+y^{2}-1=0.
Passo 1
O enunciado dá a função objetivo \;f(x,y)=x^{2}y\; e a restrição \;g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;.
Pede para encontrar os valores máximos e mínimos (globais) de \;f\; sujeitos à restrição \;x^{2}+y^{2}=1\;.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Nada mais foi dado. A solução deve identificar os pontos sobre o círculo onde f atinge seus extremos e os respectivos valores de f.
Passo 2
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Explico a ideia de forma simples e didática: se queremos otimizar \;f(x,y)\; com a condição \;g(x,y)=0, então nos pontos de extremo a tangente ao nível da restrição faz com que os gradientes fiquem paralelos. Formalmente, existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y).
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y) e \nabla g=(\partial g/\partial x,\partial g/\partial y). A incógnita \lambda é o multiplicador de Lagrange. Essa condição, junto com a restrição g(x,y)=0, gera um sistema de equações que podemos resolver para encontrar candidatos a extremos.
Passo 3
Escrevemos o sistema de Lagrange. Primeiro os gradientes:
Se \;x=0\; então da restrição \;0+y^{2}=1\Rightarrow y=\pm 1.
Nestes pontos f(0,\pm 1)=0^{2}\cdot(\pm 1)=0. Portanto os pontos \;(0,1) e \;(0,-1) são candidatos com valor f=0.
Passo 5
Caso B: x\neq 0, então da primeira equação temos y-\lambda=0\Rightarrow \lambda=y. Substituindo na segunda equação:
Como a restrição é o círculo unitário (conjunto compacto) e f é contínua, os extremos globais existem e devem ser um desses valores. O maior valor é \frac{2}{3\sqrt{3}} e o menor é -\frac{2}{3\sqrt{3}}. Os pontos com f=0 ficam entre esses valores, então não são extremos globais (exceto que são críticos locais de valor intermediário).
Passo 8
Conclusão final: os pontos que maximizam e minimizam f na restrição e os respectivos valores estão listados abaixo.
Resposta
Máximo: \displaystyle f_{\max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9} nos pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
Mínimo: \displaystyle f_{\min}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9} nos pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right).