Minimize e maximize f(x, y).
f=x^{2} y com g=x^{2}+y^{2}-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a função objetivo \;f(x,y)=x^{2}y\; e a restrição \;g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;.
Pede para encontrar os valores máximos e mínimos (globais) de \;f\; sujeitos à restrição \;x^{2}+y^{2}=1\;.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Função: } \;f(x,y)=x^{2}y,\\\ &\text{Restrição (círculo unitário): } \;x^{2}+y^{2}=1. \end{aligned}çãçãíá
Nada mais foi dado. A solução deve identificar os pontos sobre o círculo onde f atinge seus extremos e os respectivos valores de f.

Passo 2

Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Explico a ideia de forma simples e didática: se queremos otimizar \;f(x,y)\; com a condição \;g(x,y)=0, então nos pontos de extremo a tangente ao nível da restrição faz com que os gradientes fiquem paralelos. Formalmente, existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y).
Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y) e \nabla g=(\partial g/\partial x,\partial g/\partial y). A incógnita \lambda é o multiplicador de Lagrange. Essa condição, junto com a restrição g(x,y)=0, gera um sistema de equações que podemos resolver para encontrar candidatos a extremos.

Passo 3

Escrevemos o sistema de Lagrange. Primeiro os gradientes:
\nabla f(x,y) = \big(2x y,\;x^{2}\big), \qquad \nabla g(x,y)=\big(2x,\;2y\big).
A condição \nabla f=\lambda \nabla g dá o sistema
\begin{cases} 2x y = \lambda\cdot 2x,\\[4pt] x^{2} = \lambda\cdot 2y,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=1. \end{cases}
Podemos simplificar a primeira equação para
2x(y-\lambda)=0.]

Passo 4

Analisamos os casos do sistema. Caso A: x=0.
Se \;x=0\; então da restrição \;0+y^{2}=1\Rightarrow y=\pm 1.
Nestes pontos f(0,\pm 1)=0^{2}\cdot(\pm 1)=0. Portanto os pontos \;(0,1) e \;(0,-1) são candidatos com valor f=0.

Passo 5

Caso B: x\neq 0, então da primeira equação temos y-\lambda=0\Rightarrow \lambda=y. Substituindo na segunda equação:
x^{2} = 2\lambda y = 2y^{2}.
Assim
x^{2}=2y^{2}.
Usando a restrição \;x^{2}+y^{2}=1\; temos
2y^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{1}{3}.
Logo
y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad x^{2}=2y^{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 6

Listamos as combinações possíveis vindas do caso B: os pontos são
\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \quad\text{e}\quad \left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
Agora calculamos f nesses pontos. Como f(x,y)=x^{2}y depende de x apenas por x^{2}, para os pontos com y=+\tfrac{1}{\sqrt{3}} temos
f = x^{2}y = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}.
Para os pontos com y=-\tfrac{1}{\sqrt{3}} obtemos
f = \frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{2}{3\sqrt{3}}.
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.

Passo 7

Comparando os valores obtidos nos candidatos:
\begin{aligned} &\text{Em }(0,\pm 1):\quad f=0;\\\ &\text{Em }\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right):\quad f=+\frac{2}{3\sqrt{3}};\\\ &\text{Em }\left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right):\quad f=-\frac{2}{3\sqrt{3}}. \end{aligned}
Como a restrição é o círculo unitário (conjunto compacto) e f é contínua, os extremos globais existem e devem ser um desses valores. O maior valor é \frac{2}{3\sqrt{3}} e o menor é -\frac{2}{3\sqrt{3}}. Os pontos com f=0 ficam entre esses valores, então não são extremos globais (exceto que são críticos locais de valor intermediário).

Passo 8

Conclusão final: os pontos que maximizam e minimizam f na restrição e os respectivos valores estão listados abaixo.

Resposta

Máximo: \displaystyle f_{\max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9} nos pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
Mínimo: \displaystyle f_{\min}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9} nos pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right).

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