Questão 1 Considere o campo vetorial:
\mathbf{F}(x, y)=\left\langle x^{3} y^{4}, x^{4} y^{3}\right\rangle
  1. Verifique que \mathbf{F} é campo vetorial conservativo.
  2. Ache uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
  3. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial \mathbf{F} ao mover uma partícula sobre a curva
C: \quad \mathbf{r}(t)=(3 \cos t, 3 \sin t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\left\langle x^{3}y^{4},\,x^{4}y^{3}\right\rangle
e pede três coisas:
  1. Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
  2. Achar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
  3. Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo da curva
C:\\ \mathbf{r}(t)=(3\cos t,\,3\sin t),\quad 0\le t\le 2\pi.
As informações relevantes que temos são as componentes do campo: P(x,y)=x^{3}y^{4} e Q(x,y)=x^{4}y^{3}, e a curva é um círculo de raio 3 centrado na origem, percorrido uma volta completa. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro, preciso lembrar e aplicar a condição prática para um campo em \mathbb{R}^2 ser conservativo (quando o domínio for simplesmente conexo): se P e Q têm derivadas parciais contínuas e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
então \mathbf{F}=\langle P,Q\rangle é conservativo. Vou verificar essa igualdade com P(x,y)=x^{3}y^{4} e Q(x,y)=x^{4}y^{3}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{4}\bigr)=x^{3}\cdot 4y^{3}=4x^{3}y^{3},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr)=4x^{3}\cdot y^{3}=4x^{3}y^{3}.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^{3}y^{3} para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, e as componentes são polinômios (logo com derivadas contínuas), a condição está satisfeita em todo \mathbb{R}^{2}. Além disso \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo, então concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Agora quero encontrar a função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}. Por definição, isso significa
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=x^{3}y^{4}\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{4}y^{3}.
O procedimento padrão é integrar a primeira igualdade em relação a x e depois ajustar com uma função que dependa só de y.
Integro \frac{\partial f}{\partial x}=x^{3}y^{4} em x:
f(x,y)=\int x^{3}y^{4}\,dx=\left(\frac{1}{4}x^{4}\right)y^{4}+g(y)=\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração no sentido: pode depender de y.

Passo 4

Para determinar g(y) uso a condição \frac{\partial f}{\partial y}=x^{4}y^{3}. Calculo a derivada de f obtido:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+g(y)\right)=\frac{1}{4}x^{4}\cdot 4y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}+g'(y).
Essa expressão deve ser igual a Q(x,y)=x^{4}y^{3}. Portanto
x^{4}y^{3}+g'(y)=x^{4}y^{3}\quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Assim g(y) é constante. Posso tomar essa constante como C. Logo uma função potencial é
f(x,y)=\frac{1}{4}x^{4}y^{4}+C.
Gosto de escolher C=0 por simplicidade, pois potenciais que diferem por constante geram o mesmo campo \nabla f.

Passo 5

Validação rápida: calculando \nabla f de f(x,y)=\tfrac{1}{4}x^{4}y^{4} obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=x^{3}y^{4},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{4}y^{3},
que são exatamente as componentes de \mathbf{F}. Está correto.

Passo 6

Finalmente, o trabalho ao longo da curva C pode ser encontrado de duas maneiras: computando a integral de linha diretamente ou usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos. O Teorema diz que se \mathbf{F}=\nabla f então, para uma curva orientada de \mathbf{r}(a) até \mathbf{r}(b),
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).
No nosso caso a curva C é fechada: \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi)=(3,0). Então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(2\pi)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr)=0.
Como esperado, qualquer integral de linha de um campo conservativo sobre um laço fechado é zero (desde que o domínio seja simplesmente conexo, o que é verdade aqui).

Resposta

  1. \mathbf{F} é conservativo.
  2. f(x,y)=\dfrac{1}{4}x^{4}y^{4}+C (constante C\in\mathbb{R}).
  3. Trabalho ao longo de C: 0.

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