Questão 1 Considere o campo vetorial:
- Verifique que
é campo vetorial conservativo.
- Ache uma função
tal que
.
- Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula sobre a curva
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede três coisas:
- Verificar se
é conservativo. - Achar uma função
tal que . - Calcular o trabalho realizado por
ao mover uma partícula ao longo da curva
As informações relevantes que temos são as componentes do campo:
e
, e a curva é um círculo de raio
centrado na origem, percorrido uma volta completa. A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro, preciso lembrar e aplicar a condição prática para um campo em
ser conservativo (quando o domínio for simplesmente conexo): se
e
têm derivadas parciais contínuas e
então
é conservativo. Vou verificar essa igualdade com
e
.
Calculo as derivadas parciais:
Como
para todo
, e as componentes são polinômios (logo com derivadas contínuas), a condição está satisfeita em todo
. Além disso
é simplesmente conexo, então concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Agora quero encontrar a função potencial
tal que
. Por definição, isso significa
O procedimento padrão é integrar a primeira igualdade em relação a
e depois ajustar com uma função que dependa só de
.
Integro
em
:
onde
é uma “constante” de integração no sentido: pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
uso a condição
. Calculo a derivada de
obtido:
Essa expressão deve ser igual a
. Portanto
Assim
é constante. Posso tomar essa constante como
. Logo uma função potencial é
Gosto de escolher
por simplicidade, pois potenciais que diferem por constante geram o mesmo campo
.
Passo 5
Validação rápida: calculando
de
obtemos
que são exatamente as componentes de
. Está correto.
Passo 6
Finalmente, o trabalho ao longo da curva
pode ser encontrado de duas maneiras: computando a integral de linha diretamente ou usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos. O Teorema diz que se
então, para uma curva orientada de
até
,
No nosso caso a curva
é fechada:
. Então
Como esperado, qualquer integral de linha de um campo conservativo sobre um laço fechado é zero (desde que o domínio seja simplesmente conexo, o que é verdade aqui).
Resposta
-
é conservativo. -
(constante ). - Trabalho ao longo de
: .