Seja A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>0\right\} \cup\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x<0\right\}. Determine z=\varphi(x, y),(x, y) \in A, tal que \varphi(-1,1)=\frac{3 \pi}{4} e, para todo (x, y) \in A,
\nabla \varphi(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
(Sugestão: Utilize os Exercícios 5 e 6.)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função \varphi(x,y) definida em A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>0\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x<0\} tal que
\nabla \varphi(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
para todo (x,y)\in A, e que satisfaça a condição de valor \varphi(-1,1)=\frac{3\pi}{4}.
Informações relevantes do enunciado:
  • O domínio é A=\{y>0\}\cup\{x<0\}.
  • A função gradiente exigida é \nabla\varphi = \big(P(x,y),Q(x,y)\big) com P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Valor inicial fixo: \varphi(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 2

Primeiro, verifico que existe uma potencial \varphi cujo gradiente é o campo dado. Para isso é útil checar se o campo é conservativo (curl zero) e se o domínio é apropriado (sem o ponto singular).
Cálculo do rotor (no plano, rotor = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}):
\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) = \frac{(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\\[6pt] \frac{\partial P}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) = \frac{-(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. \end{aligned}
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Isso mostra que o campo tem rotor zero em todos os pontos onde está definido (ou seja, em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}).
Agora sobre o domínio A: note que o ponto (0,0) não pertence a A. O complemento de A é
\mathbb{R}^2\setminus A = \{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\le 0\},
que é um conjunto convexo (logo conectado). Como A é aberto e conectado e seu complemento é conectado, conclui-se que A é simplesmente conectado (não há “buracos” isolados dentro de A). Portanto, em A um campo com rotor zero tem um potencial global; existe \varphi tal que \nabla\varphi=(P,Q).]

Passo 3

Vamos encontrar \varphi por integração das componentes parciais. Começo integrando \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}} em relação a x, tratando y como constante.
Usarei a fórmula de integral conhecida:
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) \quad (a>0).
Aqui, com a=|y| e observando o sinal, temos
\int \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx = -y\int\frac{dx}{x^{2}+y^{2}} = -y\cdot\frac{1}{y}\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right) = -\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right),
desde que y\neq 0. Portanto, a primitiva em relação a x tem forma
\varphi(x,y) = -\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right) + C(y),
onde C(y) é uma função somente de y (constante de integração em relação a x).

Passo 4

Agora determino C(y) exigindo que a derivada parcial em y da expressão acima coincida com Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculo a derivada parcial em y de \varphi(x,y) = -\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right) + C(y). Seja u(x,y)=\dfrac{x}{y}. Então
\frac{\partial}{\partial y}\left[-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)\right] = -\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right).
Simplificando:
-\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right) = \frac{x}{y^{2}}\cdot\frac{1}{1+x^{2}/y^{2}} = \frac{x}{y^{2}}\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Assim
\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} + C'(y).
Para que isso seja igual a Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} para todos (x,y)\in A, é necessário que C'(y)=0. Logo C(y) é uma constante C (não depende de y).
Portanto, a família de potenciais é
\varphi(x,y) = -\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right) + C.

Passo 5

Agora uso a condição inicial \varphi(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4} para determinar C.
Calculo -\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right) em (-1,1):
-\arctan\!\left(\frac{-1}{1}\right) = -\arctan(-1) = -\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}.
Logo
\varphi(-1,1) = \frac{\pi}{4} + C = \frac{3\pi}{4} \quad\Rightarrow\quad C=\frac{\pi}{2}.
Portanto uma expressão conveniente para \varphi é
\varphi(x,y) = \frac{\pi}{2} - \arctan\!\left(\frac{x}{y}\right).
Observação sobre continuidade e ramo da função arco tangente: a fórmula acima foi obtida por integração local supondo y\neq 0. No domínio A temos sempre y>0 ou x<0; a função definida por
\varphi(x,y)=\frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)
é contínua e tem gradiente igual ao campo dado em todo A (nós já verificámos as derivadas). Esta função coincide com o argumento polar contínuo (função ângulo) escolhendo o ramo apropriado que dá \varphi(-1,1)=3\pi/4. Em termos comuns, \varphi é o ângulo polar \operatorname{Arg}(x+iy) escolhido de modo contínuo em A.

Passo 6

Como verificação final, podemos diferenciar explicitamente a expressão encontrada para conferir que ela produz o campo pedido:
Tomando \varphi(x,y)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right),
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = -\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\frac{1}{y} = -\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{y} = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}},
e
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}},
exatamente as componentes exigidas.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y)=\frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)

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