Seja
. Determine
, tal que
e, para todo
,
(Sugestão: Utilize os Exercícios 5 e 6.)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função
definida em
tal que
para todo
, e que satisfaça a condição de valor
.
Informações relevantes do enunciado:
- O domínio é
. - A função gradiente exigida é
com - Valor inicial fixo:
.
Passo 2
Primeiro, verifico que existe uma potencial
cujo gradiente é o campo dado. Para isso é útil checar se o campo é conservativo (curl zero) e se o domínio é apropriado (sem o ponto singular).
Cálculo do rotor (no plano, rotor =
):
Logo
Isso mostra que o campo tem rotor zero em todos os pontos onde está definido (ou seja, em
).
Agora sobre o domínio
: note que o ponto
não pertence a
. O complemento de
é
que é um conjunto convexo (logo conectado). Como
é aberto e conectado e seu complemento é conectado, conclui-se que
é simplesmente conectado (não há “buracos” isolados dentro de
). Portanto, em
um campo com rotor zero tem um potencial global; existe
tal que
.]
Passo 3
Vamos encontrar
por integração das componentes parciais. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante.
Usarei a fórmula de integral conhecida:
Aqui, com
e observando o sinal, temos
desde que
. Portanto, a primitiva em relação a
tem forma
onde
é uma função somente de
(constante de integração em relação a
).
Passo 4
Agora determino
exigindo que a derivada parcial em
da expressão acima coincida com
.
Calculo a derivada parcial em
de
. Seja
. Então
Simplificando:
Assim
Para que isso seja igual a
para todos
, é necessário que
. Logo
é uma constante
(não depende de
).
Portanto, a família de potenciais é
Passo 5
Agora uso a condição inicial
para determinar
.
Calculo
em
:
Logo
Portanto uma expressão conveniente para
é
Observação sobre continuidade e ramo da função arco tangente: a fórmula acima foi obtida por integração local supondo
. No domínio
temos sempre
ou
; a função definida por
é contínua e tem gradiente igual ao campo dado em todo
(nós já verificámos as derivadas). Esta função coincide com o argumento polar contínuo (função ângulo) escolhendo o ramo apropriado que dá
. Em termos comuns,
é o ângulo polar
escolhido de modo contínuo em
.
Passo 6
Como verificação final, podemos diferenciar explicitamente a expressão encontrada para conferir que ela produz o campo pedido:
Tomando
,
e
exatamente as componentes exigidas.