Minimize e maximize
.
com
.
Passo 1
O problema pede para minimizar e maximizar a função
sujeita à restrição
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
- A restrição implica
. - Devemos ter
e (pois aparecem em denominadores). - O enunciado não especifica explicitamente se
e são positivos; por isso vou: - encontrar pontos críticos sem assumir sinal, e
- analisar o comportamento da função ao longo da curva de restrição para decidir se há mínimo/máximo global, e ainda comentar o caso restrito
(que é muito natural aqui, pois muitas questões desse tipo assumem domínio positivo).
Nada mais será resolvido neste passo; agora partimos para o método.
Passo 2
Escolhemos o método dos multiplicadores de Lagrange porque:
- Temos uma função a otimizar sujeita a uma restrição dada por uma equação
. - O método fornece condições necessárias (sistema de equações) para pontos candidatos a extremos na curva definida pela restrição.
Vou explicar o método de forma simples: definimos a função de Lagrange
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a importância da restrição). As condições necessárias são
Essas equações correspondem a pedir que o gradiente de
seja paralelo ao gradiente de
na curva de restrição.
Passo 3
Escrevendo
para o nosso caso:
Agora calculamos as derivadas parciais (vou explicar cada termo):
-
. -
.
Portanto
Análogo para
:
As condições
e
dão
Dessas duas equações obtemos
Então os candidatos satisfazem
, além de cumprir a restrição
.
Passo 4
Analisamos as duas possibilidades
e
:
-
Caso
: a restrição fica Logo. Esse ponto é um candidato crítico. O valor de ali é -
Caso
: a restrição fica que é impossível. Portanto não há soluções nessa subcaso.
Concluímos que o único ponto crítico pelo método de Lagrange é
(desde que
, claro).
Passo 5
Agora precisamos determinar se
é mínimo, máximo, ou apenas um ponto crítico local, e verificar existência de extremos globais na curva de restrição. Uma forma prática: parametrizar a restrição e estudar a função de uma variável.
Da restrição
isolamos
(desde que
):
Substituindo em
obtemos uma função univariada
Para simplificar:
O domínio desta função é
e
(porque
e a expressão ficam indefinidas nesses pontos). Note que
pode ser positivo ou negativo, exceto 0 e 1.
Passo 6
Calculamos a derivada de
para localizar extremos univariados:
Usando a regra do quociente (ou diferenciando como produto), obtemos
Os zeros de
são
e
. O ponto
não pertence ao domínio (é excluído), então o único crítico válido é
, consistente com o multiplicador de Lagrange. Agora analisamos o sinal de
para ver o tipo de extremo:
- O denominador
exceto em (onde não está definido). - O sinal de
vem do numerador : - Para
: numerador negativo ⇒ (função decresce). - Para
: numerador positivo ⇒ (função cresce).
Logo ema derivada troca de negativa para positiva: é um mínimo local. O valor em é
- Para
confirmando que em
temos
e que é um mínimo local na componente com
.
Passo 7
Agora verificamos o comportamento nas bordas e em outras componentes da curva para decidir sobre extremos globais.
Analisando limites de
:
- Ao aproximar
: . - Ao aproximar
: . - Quando
: . - Quando
: . - Ao aproximar
: . Ao aproximar : (sinal conforme o lado).
Conclusões: - Na componente com
(que corresponde a também), tem um mínimo global local em com valor e diverge para nos extremos dessa componente. Portanto nesta componente o ponto é o mínimo global daquela componente da curva de restrição. - Na componente
(então ), vai de até quando : ali não há mínimo finito, a função é não limitada inferiormente (vai a ). - Na componente
(então ou dependendo de ), também quando . Assim, ao considerar todos os , a função ao longo da curva não tem limite inferior finito: ela pode ficar arbitrariamente negativa. - Quanto a máximo global: a função também fica arbitrariamente grande (por exemplo ao aproximar
temos ), então não existe máximo finito.
Passo 8
Resumo e interpretação final (tomando em conta o caso natural
e o caso geral
):
-
Se restringirmos a
e : a restrição força e . Nessa componente positiva a única solução crítica é , e ela dá o menor valor possível da soma sobre a curva positiva. Portanto existe mínimo global na parte positiva: em . Não há máximo (a soma tende a quando ou ). -
Se permitirmos
quaisquer não nulos (domínio para cada coordenada): a soma ao longo da curva descrita pela restrição é não limitada inferiormente (vai para ) e também não é limitada superiormente (vai para ). Portanto não existe mínimo global nem máximo global finitos. Ainda assim é um mínimo local (e o mínimo da componente ) com valor .
Resposta
Se
: mínimo
alcançado em
. Não existe máximo.
Se
: não existe mínimo global (infimum
) e não existe máximo global (supremum
).